Matematika Peminatan Kelas 12 | Limit Fungsi Trigonometri-3Matematika adalah permainan yang dimainkan sesuai dengan aturan tertentu yang sederhana dengan tanda penuh arti di atas kertas.Pada materi limit fungsi trigonometri sebelumnya, telah dijelaskan bahwa apabila hasil dari substitusi pada limit fungsi memperoleh bentuk tak tentu $\frac{0}{0} \ ,\ \frac{\infty }{\infty} \ ,\ 0\times \infty \ ,\ \infty-\infty \ ,\ 0^{0}$ atau $\infty^{\infty}$, maka penyelesaiannya dilakukan memodifikasi bentuk matematika dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan bentuk yang sekawan, merubah fungsi dengan yang setara, atau dengan cara lain selama tidak keluar dari kaidah matematika.
Pada pertemuan kali ini, sebelum kita melanjutkan ke materi yang selanjutnya, alangkah lebih baiknya kita berlatih mengenal lebih dalam lagi tentang menyelesaikan bentuk soal limit fungsi trigonometri, karena bentuk-bentuk perubahan nilai yang setara dari fungsi trigonometri itu sangat banyak sekali. Oleh karena itu, kita berlatih mengenal lebih jauh lagi dari ragam soal limit fungsi trigonometri.
Mari kita simak beberapa soal yang akan kita bahas bersama yang sudah pernah diujikan pada ujian sekolah, ujian nasional, SNMPTN maupun soal-soal lain yang terkait dengan materi limit fungsi trigonometri.
Sedikit tambahan tentang semua soal yang akan kita bahas, dalam bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ dengan soal yang lebih beragam lagi dari limit fungsi trigonometri, kita akan ditunjukkan bagaimana menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi trigonometri untuk menyelesaikan ragam soal-soal yang lebih berkembang, hal ini bukanlah sesuatu yang sulit, jika kita mengikuti langkah-langkahnya dengan perlahan pada pembahasan soal di bawah ini, maka dengan begitu limit fungsi trigonometri sedikit demi sedikit akan semakin kita pahami.
1. Soal UN SMA Tahun 2005
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x-\sin 3x\cos 2x}{2x^{3}}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ \frac{2}{3}\\
&\text {c.}\ \frac{3}{2}\\
&\text {d.}\ 2\\
&\text {e.}\ 3
\end{aligned}$
Dengan menggunakan rumus setengah sudut $1-\cos 2x=2\sin ^{2}x$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x-\sin 3x\cos 2x}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x(1-\cos 2x)}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x(2\sin ^{2}x)}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin 3x\sin x\sin x}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\times\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{2}\times \frac{3}{1}\times \frac{1}{1}\times \frac{1}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow3 \end{aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x-\sin 3x\cos 2x}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x(1-\cos 2x)}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x(2\sin ^{2}x)}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin 3x\sin x\sin x}{2x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\times\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{2}\times \frac{3}{1}\times \frac{1}{1}\times \frac{1}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow3 \end{aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
2. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2010
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x+\sin 2x}{3x\cos x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{4}\\
&\text {b.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {c.}\ 1\\
&\text {d.}\ \frac{3}{2}\\
&\text {e.}\ 2
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus penjumlahan trigonometri $\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}(A+B)\cos \frac{1}{2}(A-B)$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x+\sin 2x}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin \frac{1}{2}(4x+2x)\cos \frac{1}{2}(4x-2x)}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin \frac{1}{2}(6x)\cos \frac{1}{2}(2x)}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin 3x\cos x}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin 3x}{3x}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{3}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{3}\times \frac{3}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow2 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x+\sin 2x}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin \frac{1}{2}(4x+2x)\cos \frac{1}{2}(4x-2x)}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin \frac{1}{2}(6x)\cos \frac{1}{2}(2x)}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin 3x\cos x}{3x\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin 3x}{3x}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{3}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{2}{3}\times \frac{3}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow2 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
3. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2009
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to-\frac{\pi}{3}}\frac{\tan (3x-\pi)\cos 2x}{\sin (3x-\pi)}=\ ...\\
&\text {a.}\ -\frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\sqrt{3}\\
&\text {e.}\ \frac{3}{2}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan memisalkan $a=3x-\pi$. Jika $x\to\frac{\pi}{3}$ maka $a\to0$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\tan (3x-\pi)\cos 2x}{\sin (3x-\pi)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\tan (3x-\pi)}{\sin (3x-\pi)}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\tan (3x-\pi)$ dan $\sin (3x-\pi)$ sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\tan a}{\sin a}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{1}{1}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x\\ \\ &\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x\\ \\ &\Leftrightarrow\cos 2(\frac{\pi}{3})\\ \\ &\Leftrightarrow\cos (\frac{2\pi}{3})\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\tan (3x-\pi)\cos 2x}{\sin (3x-\pi)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\tan (3x-\pi)}{\sin (3x-\pi)}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\tan (3x-\pi)$ dan $\sin (3x-\pi)$ sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\tan a}{\sin a}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x\\ \\ &\Leftrightarrow\frac{1}{1}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x\\ \\ &\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\cos 2x\\ \\ &\Leftrightarrow\cos 2(\frac{\pi}{3})\\ \\ &\Leftrightarrow\cos (\frac{2\pi}{3})\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
4. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2016
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -4\\
&\text {b.}\ -2\\
&\text {c.}\ -1\\
&\text {d.}\ -\frac{1}{2}\\
&\text {e.}\ -\frac{1}{4}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus setengah sudut trigonometri $\cos 4x-1=-2\sin ^{2}2x$ dan $1-\cos 2x=2\sin ^{2}x$ serta teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-2\sin ^{2}2x}{2\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{2}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{2}{2}\times \frac{2}{1}\times \frac{2}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow -4 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos 4x-1}{1-\cos 2x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{-2\sin ^{2}2x}{2\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{2}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{2}{2}\times \frac{2}{1}\times \frac{2}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow -4 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
5. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2014
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{(x+6)\sin (x+2)}{x^{2}-3x-10}=\ ...\\
&\text {a.}\ -\frac{4}{3}\\
&\text {b.}\ -\frac{4}{7}\\
&\text {c.}\ -\frac{2}{5}\\
&\text {d.}\ 0\\
&\text {e.}\ 1
\end {aligned}$
Dengan menggunakan memisalkan $a=x+2$. Jika $x\to-2$ maka $a\to0$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)\sin (x+2)}{x^{2}-3x-10}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)\sin (x+2)}{(x-5)(x+2)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\times \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{\sin (x+2)}{(x+2)} \end {aligned}\\$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\sin (x+2)$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\times \frac{1}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{(-2+6)}{(-2-5)}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{4}{-7}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{4}{7} \end{aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(b)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)\sin (x+2)}{x^{2}-3x-10}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)\sin (x+2)}{(x-5)(x+2)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\times \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{\sin (x+2)}{(x+2)} \end {aligned}\\$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\sin (x+2)$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\times \frac{1}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{(x+6)}{(x-5)}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{(-2+6)}{(-2-5)}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{4}{-7}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{4}{7} \end{aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(b)}$
6. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2017
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{x-\frac{\pi}{4}}=\ ...\\
&\text {a.}\ -5\\
&\text {b.}\ -4\\
&\text {c.}\ -3\\
&\text {d.}\ -2\\
&\text {e.}\ -1
\end {aligned}$
7. Soal SPMB Matematika Tahun 2006
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x\tan (2x-\pi)}{2\pi-4x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -\frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\\
&\text {d.}\ 1\\
&\text {e.}\ \sqrt{3}
\end {aligned}$
8. Soal SNMPTN Matematika IPA Tahun 2010
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -\frac{3}{2}\\
&\text {b.}\ -\frac{1}{2}\\
&\text {c.}\ 0\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {e.}\ \frac{3}{2}
\end {aligned}$
9. Soal SNMPTN Matematika IPA Tahun 2012
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos ^{2}x}{x^{2}\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}=\ ...\\
&\text {a.}\ -1\\
&\text {b.}\ 0\\
&\text {c.}\ 1\\
&\text {d.}\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\\
&\text {e.}\ \sqrt{3}
\end {aligned}$
10. Soal SNMPTN Matematika Tahun 2011
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{1-2\sin x\cos x}{\cos x-\sin x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\sqrt{3}\\
&\text {d.}\ 1\\
&\text {e.}\ 0
\end {aligned}$
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{x-\frac{\pi}{4}}=\ ...\\
&\text {a.}\ -5\\
&\text {b.}\ -4\\
&\text {c.}\ -3\\
&\text {d.}\ -2\\
&\text {e.}\ -1
\end {aligned}$
Dengan menggunakan pemisalan $a=x-\frac{\pi}{4}$ dan rumus perbandingan sudut trigonometri $\cos 2A=\sin \left ( \frac{\pi}{2}-2A \right )$ serta teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{x-\frac{\pi}{4}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\cos 2(a+\frac{\pi}{4})}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\cos \left ( 2a+\frac{\pi}{2} \right )}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin \left ( \frac{\pi}{2}-(2a+\frac{\pi}{2}) \right )}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin \left ( \frac{\pi}{2}-2a-\frac{\pi}{2} \right )}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin (-2a)}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{-\sin 2a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow -\displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin 2a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{2}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow -2 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 2x}{x-\frac{\pi}{4}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\cos 2(a+\frac{\pi}{4})}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\cos \left ( 2a+\frac{\pi}{2} \right )}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin \left ( \frac{\pi}{2}-(2a+\frac{\pi}{2}) \right )}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin \left ( \frac{\pi}{2}-2a-\frac{\pi}{2} \right )}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin (-2a)}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{-\sin 2a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow -\displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin 2a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{2}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow -2 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
7. Soal SPMB Matematika Tahun 2006
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x\tan (2x-\pi)}{2\pi-4x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -\frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\\
&\text {d.}\ 1\\
&\text {e.}\ \sqrt{3}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan pemisalan $a=\pi-2x$. Jika $x\to\frac{1}{2}\pi$ maka $a\to0$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{ax}=1$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x\tan (2x-\pi)}{2\pi-4x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x\left ( -\tan (\pi-2x) \right )}{2(\pi-2x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{-\tan (\pi-2x)}{\pi-2x} \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\tan (\pi-2x)$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{-\tan a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\times (-1)\\ \\ &\Leftrightarrow -\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{\sin (\frac{1}{2}\pi)}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x\tan (2x-\pi)}{2\pi-4x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x\left ( -\tan (\pi-2x) \right )}{2(\pi-2x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{-\tan (\pi-2x)}{\pi-2x} \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\tan (\pi-2x)$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{-\tan a}{a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\times (-1)\\ \\ &\Leftrightarrow -\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}\pi}\frac{\sin x}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{\sin (\frac{1}{2}\pi)}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow -\frac{1}{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
8. Soal SNMPTN Matematika IPA Tahun 2010
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -\frac{3}{2}\\
&\text {b.}\ -\frac{1}{2}\\
&\text {c.}\ 0\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {e.}\ \frac{3}{2}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus pengurangan trigonometri $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin \frac{1}{2}(x+3x)\sin \frac{1}{2}(x-3x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin \frac{1}{2}(4x)\sin \frac{1}{2}(-2x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin 2x\sin (-x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin 2x(-\sin (x))}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{2\sin 2x\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin 2x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{4-x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 1\times \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{4-x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{4}\times\sqrt{4-0^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{4}\times\sqrt{4}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{4}\times2\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{\cos x-\cos 3x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin \frac{1}{2}(x+3x)\sin \frac{1}{2}(x-3x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin \frac{1}{2}(4x)\sin \frac{1}{2}(-2x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin 2x\sin (-x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{-2\sin 2x(-\sin (x))}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sqrt{4-x^{3}}}{2\sin 2x\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin 2x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{4-x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 1\times \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{4-x^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{4}\times\sqrt{4-0^{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{4}\times\sqrt{4}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{4}\times2\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
9. Soal SNMPTN Matematika IPA Tahun 2012
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos ^{2}x}{x^{2}\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}=\ ...\\
&\text {a.}\ -1\\
&\text {b.}\ 0\\
&\text {c.}\ 1\\
&\text {d.}\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\\
&\text {e.}\ \sqrt{3}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus identitas trigonometri $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ atau setara dengan $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ dan bentuk lain dari $\tan x=\frac{1}{\cot x}$ serta teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{ax}=1$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos ^{2}x}{x^{2}\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \lim_{x\to0}\frac{1}{\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow1\times 1\times \lim_{x\to0}\tan \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \tan \left ( 0+ \frac{\pi}{3}\right )\\ \\ &\Leftrightarrow \tan \left ( \frac{\pi}{3} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \tan 60^{\circ }\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{3} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos ^{2}x}{x^{2}\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \lim_{x\to0}\frac{1}{\cot \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow1\times 1\times \lim_{x\to0}\tan \left ( x+\frac{\pi}{3} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \tan \left ( 0+ \frac{\pi}{3}\right )\\ \\ &\Leftrightarrow \tan \left ( \frac{\pi}{3} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \tan 60^{\circ }\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{3} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
10. Soal SNMPTN Matematika Tahun 2011
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{1-2\sin x\cos x}{\cos x-\sin x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\sqrt{3}\\
&\text {d.}\ 1\\
&\text {e.}\ 0
\end {aligned}$
Dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ dan sedikit modifikasi dengan teorema aljabar $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{1-2\sin x\cos x}{\sin x-\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x-2\sin x\cos x}{\sin x-\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos ^{2}x}{\sin x-\cos x}\\ \\ \end {aligned}$
Kita terapkan teorema aljabar di atas pada $\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos ^{2}x=(\sin x-\cos x)^{2}$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{(\sin x-\cos x)^{2}}{\sin x-\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin x-\cos x}{1} \\ \\ &\Leftrightarrow 1\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\sin x-\cos x \\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\sin x-\cos x \\ \\ &\Leftrightarrow \sin \left ( \frac{1}{4}\pi \right )-\cos \left ( \frac{1}{4}\pi \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \\ &\Leftrightarrow 0 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{1-2\sin x\cos x}{\sin x-\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x-2\sin x\cos x}{\sin x-\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos ^{2}x}{\sin x-\cos x}\\ \\ \end {aligned}$
Kita terapkan teorema aljabar di atas pada $\sin ^{2}x-2\sin x\cos x+\cos ^{2}x=(\sin x-\cos x)^{2}$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{(\sin x-\cos x)^{2}}{\sin x-\cos x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\frac{\sin x-\cos x}{1} \\ \\ &\Leftrightarrow 1\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\sin x-\cos x \\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{4}\pi}\sin x-\cos x \\ \\ &\Leftrightarrow \sin \left ( \frac{1}{4}\pi \right )-\cos \left ( \frac{1}{4}\pi \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ \\ &\Leftrightarrow 0 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(e)}$
11. Soal SBMPTN SAINTEK Tahun 2017
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2}{x^{2}}-\frac{\sin 2x}{x^{2}\tan x} \right )=\ ...\\
&\text {a.}\ 2\\
&\text {b.}\ 1\\
&\text {c.}\ 0\\
&\text {d.}\ -1\\
&\text {e.}\ -2
\end {aligned}$
12. Soal SBMPTN SAINTEK Tahun 2018
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cot ^{2}x}{1-\sin x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -2\pi\\
&\text {b.}\ -\pi\\
&\text {c.}\ 0\\
&\text {d.}\ \pi\\
&\text {e.}\ 2\pi
\end {aligned}$
13. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2014
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x^{2}-1)\tan (2x-2)}{\sin ^{2}(x-1)}=\ ...\\
&\text {a.}\ 6\\
&\text {b.}\ 5\\
&\text {c.}\ 4\\
&\text {d.}\ 3\\
&\text {e.}\ 2
\end {aligned}$
14. Soal SBMPTN SAINTEK Tahun 2018
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x}{x^{2}\tan 2x}-\frac{2}{x^{2}} \right )=\ ...\\
&\text {a.}\ 16\\
&\text {b.}\ 8\\
&\text {c.}\ -8\\
&\text {d.}\ -10\\
&\text {e.}\ -16
\end {aligned}$
15. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2015
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{8}\\
&\text {b.}\ \frac{3}{8}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{4}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {e.}\ \frac{3}{4}
\end {aligned}$
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2}{x^{2}}-\frac{\sin 2x}{x^{2}\tan x} \right )=\ ...\\
&\text {a.}\ 2\\
&\text {b.}\ 1\\
&\text {c.}\ 0\\
&\text {d.}\ -1\\
&\text {e.}\ -2
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus identitas trigonometri $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ atau setara dengan $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$, bentuk lain dari $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$, dan rumus sudut ganda $\sin 2x=2\sin x\cos x$ serta teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{ax}=1$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2}{x^{2}}-\frac{\sin 2x}{x^{2}\tan x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}\left (2- \frac{\sin 2x}{\tan x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}\left (2- \frac{2\sin x\cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}\left (2- \frac{2\sin x\cos ^{2}x}{\sin x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}(2-2\cos ^{2}x)\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2-2\cos ^{2}x}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2(1-\cos ^{2}x)}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{1-\cos ^{2}x}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\times 1\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow 2 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2}{x^{2}}-\frac{\sin 2x}{x^{2}\tan x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}\left (2- \frac{\sin 2x}{\tan x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}\left (2- \frac{2\sin x\cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}\left (2- \frac{2\sin x\cos ^{2}x}{\sin x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^{2}}(2-2\cos ^{2}x)\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2-2\cos ^{2}x}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2(1-\cos ^{2}x)}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{1-\cos ^{2}x}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin ^{2}x}{x^{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\times 1\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow 2 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
12. Soal SBMPTN SAINTEK Tahun 2018
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cot ^{2}x}{1-\sin x}=\ ...\\
&\text {a.}\ -2\pi\\
&\text {b.}\ -\pi\\
&\text {c.}\ 0\\
&\text {d.}\ \pi\\
&\text {e.}\ 2\pi
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus identitas trigonometri $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ atau setara dengan $\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$, bentuk lain dari $\cot ^{2}x=\frac{\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}$, dan perkalian bentuk kawan $\frac{1+\sin x}{1+\sin x}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cot ^{2}x}{1-\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x(1-\sin x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x(1-\sin x)}\times \frac{1+\sin x}{1+\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x(1-\sin ^{2}x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x}\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( \frac{\pi}{2} \right )(1+\sin \left ( \frac{\pi}{2} \right ))}{\sin ^{2}\left ( \frac{\pi}{2} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\frac{\pi}{2}(1+1)}{1^{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\frac{\pi}{2}(2)}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow \pi \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cot ^{2}x}{1-\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x(1-\sin x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x(1-\sin x)}\times \frac{1+\sin x}{1+\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x(1-\sin ^{2}x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x\cos ^{2}x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x}\times \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x}\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{x(1+\sin x)}{\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( \frac{\pi}{2} \right )(1+\sin \left ( \frac{\pi}{2} \right ))}{\sin ^{2}\left ( \frac{\pi}{2} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\frac{\pi}{2}(1+1)}{1^{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\frac{\pi}{2}(2)}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow \pi \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
13. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2014
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x^{2}-1)\tan (2x-2)}{\sin ^{2}(x-1)}=\ ...\\
&\text {a.}\ 6\\
&\text {b.}\ 5\\
&\text {c.}\ 4\\
&\text {d.}\ 3\\
&\text {e.}\ 2
\end {aligned}$
Dengan menggunakan pemisalan $a=x-1$. Jika $x\to1$ maka $a\to0$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{ax}{\sin ax}=1$ serta $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x^{2}-1)\tan (2x-2)}{\sin ^{2}(x-1)}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)\sin (x-1)}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\times \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x-1)}{\sin (x-1)}\times \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)} \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\sin (x-1)$ dan $\tan (x-1)$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{a}{\sin a}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\tan 2a}{\sin a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\times 1\times \frac{2}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\times \frac{1+1}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\times 2\\ \\ &\Leftrightarrow 4 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x^{2}-1)\tan (2x-2)}{\sin ^{2}(x-1)}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)\sin (x-1)}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\times \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x-1)}{\sin (x-1)}\times \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)} \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\sin (x-1)$ dan $\tan (x-1)$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{a}{\sin a}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\tan 2a}{\sin a}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\times 1\times \frac{2}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x+1)}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\times \frac{1+1}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow 2\times 2\\ \\ &\Leftrightarrow 4 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
14. Soal SBMPTN SAINTEK Tahun 2018
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x}{x^{2}\tan 2x}-\frac{2}{x^{2}} \right )=\ ...\\
&\text {a.}\ 16\\
&\text {b.}\ 8\\
&\text {c.}\ -8\\
&\text {d.}\ -10\\
&\text {e.}\ -16
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus identitas trigonometri $\sin ^{2}2x+\cos ^{2}2x=1$ atau setara dengan $\cos ^{2}2x-1=-\sin ^{2}2x$, bentuk lain dari $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$, dan rumus sudut rangkap $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$ juga sedikit modifikasi aljabar, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x}{x^{2}\tan 2x}-\frac{2}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x-2\tan 2x}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x-\frac{2\sin 2x}{\cos 2x}}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\left ( \frac{\sin 4x\cos 2x-2\sin 2x}{\cos 2x} \right )}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x\cos 2x-2\sin 2x}{x^{2}\tan 2x\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{(2\sin 2x\cos 2x)\cos 2x-2\sin 2x}{x^{2}\tan 2x\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{(2\sin 2x\cos ^{2}2x)-2\sin 2x}{x^{2}\tan 2x\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2\sin 2x(\cos ^{2}2x-1)}{x^{2}\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2\sin 2x(-\sin ^{2}2x)}{x^{2}\sin 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow -2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin 2x}\\ \\ &\Leftrightarrow -2\times \frac{2}{1}\times \frac{2}{1}\times \frac{2}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow -8 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x}{x^{2}\tan 2x}-\frac{2}{x^{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x-2\tan 2x}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x-\frac{2\sin 2x}{\cos 2x}}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\left ( \frac{\sin 4x\cos 2x-2\sin 2x}{\cos 2x} \right )}{x^{2}\tan 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{\sin 4x\cos 2x-2\sin 2x}{x^{2}\tan 2x\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{(2\sin 2x\cos 2x)\cos 2x-2\sin 2x}{x^{2}\tan 2x\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{(2\sin 2x\cos ^{2}2x)-2\sin 2x}{x^{2}\tan 2x\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2\sin 2x(\cos ^{2}2x-1)}{x^{2}\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\cos 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{2\sin 2x(-\sin ^{2}2x)}{x^{2}\sin 2x} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow -2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{\sin 2x}\\ \\ &\Leftrightarrow -2\times \frac{2}{1}\times \frac{2}{1}\times \frac{2}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow -8 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
15. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2015
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{8}\\
&\text {b.}\ \frac{3}{8}\\
&\text {c.}\ \frac{1}{4}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {e.}\ \frac{3}{4}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus setengah sudut $1-\cos x=2\sin ^{2}(\frac{1}{2}x)$ dan perkalian bentuk kawan $\frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}}$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}\times \frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}} \right )\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}(1+\sqrt{\cos x})}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin ^{2}\left ( \frac{1}{2}x \right )}{x^{2}(1+\sqrt{\cos x})}\\ \\ &2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin (\frac{1}{2}x)}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin (\frac{1}{2}x)}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\\ \\ &2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+\sqrt{\cos 0}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+\sqrt{1}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+1}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\\ \\ &\frac{1}{4} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^{2}}\times \frac{1+\sqrt{\cos x}}{1+\sqrt{\cos x}} \right )\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}(1+\sqrt{\cos x})}\\ \\ &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\sin ^{2}\left ( \frac{1}{2}x \right )}{x^{2}(1+\sqrt{\cos x})}\\ \\ &2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin (\frac{1}{2}x)}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin (\frac{1}{2}x)}{x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\\ \\ &2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1+\sqrt{\cos x}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+\sqrt{\cos 0}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+\sqrt{1}}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+1}\\ \\ &\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\\ \\ &\frac{1}{4} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
16. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2017
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin x\tan x}{1-\cos 2x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ 1\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\sqrt{3}\\
&\text {e.}\ \sqrt{3}
\end {aligned}$
17. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2018
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x+\tan 2x}{3x-\sin 4x}=\ ...\\
&\text {a.}\ 5\\
&\text {b.}\ 3\\
&\text {c.}\ 1\\
&\text {d.}\ -3\\
&\text {e.}\ -5
\end {aligned}$
18. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2016
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{9}\\
&\text {b.}\ -\frac{1}{9}\\
&\text {c.}\ \frac{2}{9}\\
&\text {d.}\ -\frac{2}{9}\\
&\text {e.}\ 1
\end {aligned}$
19. Soal SNMPTN Tahun 2010
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}=\ ...\\
&\text {a.}\ \sqrt{2}\\
&\text {b.}\ 1\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{4}\\
&\text {e.}\ 0
\end {aligned}$
20. Soal SPMB Matematika Tahun 2009
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sin (1-x^{2})\cos (1-x^{2})}{x^{2}-1}=\ ...\\
&\text {a.}\ 1\\
&\text {b.}\ -1\\
&\text {c.}\ 2\\
&\text {d.}\ -2\\
&\text {e.}\ 0
\end {aligned}$
Itulah beberapa soal dan pembahasan dari materi limit fungsi trigonometri dengan soal-soal yang lebih beragam. Teruslah berlatih mencoba menemukan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal limit fungsi trigonometri dari sumber-sumber yang lain.
Petunjuk singkat dalam berlatih limit fungsi trigonometri, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan tipe soal yang berbeda-beda dari limit fungsi trigonometri.
untuk lebih memahami materi tentang limit fungsi trigonometri silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf. Materi pdf masih sama dengan pertemuan yang sebelumnya.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi trigonometri pertemuan kedua, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf
Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Trigonometri secara mandiri
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi trigonometri.
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin x\tan x}{1-\cos 2x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {b.}\ 1\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{2}\sqrt{3}\\
&\text {e.}\ \sqrt{3}
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus setengah sudut $1-\cos 2x=2\sin ^{2}x$ dan teorema limit fungsi trigonometri, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin x\tan x}{1-\cos 2x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin x\tan x}{2\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{2\sin ^{2}x}+\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x\tan x}{2\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} \right )^{2}+\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\sin x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times (1)^{2}+\frac{1}{2}\times 1\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow 1 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(b)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin x\tan x}{1-\cos 2x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\sin x\tan x}{2\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{2\sin ^{2}x}+\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x\tan x}{2\sin ^{2}x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} \right )^{2}+\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\sin x}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\sin x}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times (1)^{2}+\frac{1}{2}\times 1\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ \\ &\Leftrightarrow 1 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(b)}$
17. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2018
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x+\tan 2x}{3x-\sin 4x}=\ ...\\
&\text {a.}\ 5\\
&\text {b.}\ 3\\
&\text {c.}\ 1\\
&\text {d.}\ -3\\
&\text {e.}\ -5
\end {aligned}$
Dengan menggunakan perkalian $\frac{1}{3x}$ pada semua fungsi dan teorema limit fungsi trigonometri, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x+\tan 2x}{3x-\sin 4x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{3x}+\frac{\tan 2x}{3x}}{\frac{3x}{3x}-\frac{\sin 4x}{3x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}+\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{3x}}{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3x}{3x}-\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{3x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left ( \frac{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}{\frac{3}{3}-\frac{4}{3}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\frac{3}{3}}{-\frac{1}{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow -3 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x+\tan 2x}{3x-\sin 4x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{3x}+\frac{\tan 2x}{3x}}{\frac{3x}{3x}-\frac{\sin 4x}{3x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}+\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{3x}}{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3x}{3x}-\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{3x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left ( \frac{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}{\frac{3}{3}-\frac{4}{3}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\frac{3}{3}}{-\frac{1}{3}}\\ \\ &\Leftrightarrow -3 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(d)}$
18. Soal UN SMA Matematika IPA Tahun 2016
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x}=\ ...\\
&\text {a.}\ \frac{1}{9}\\
&\text {b.}\ -\frac{1}{9}\\
&\text {c.}\ \frac{2}{9}\\
&\text {d.}\ -\frac{2}{9}\\
&\text {e.}\ 1
\end {aligned}$
Dengan menggunakan rumus pengurangan trigonometri $\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}(A+B)\sin \frac{1}{2}(A-B)$ dan teorema limit fungsi trigonometri, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{-2\sin \frac{1}{2}(2x+7x)\sin \frac{1}{2}(2x-7x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{-2\sin \frac{1}{2}(9x)\sin \frac{1}{2}(-5x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{-2\sin \left ( \frac{9}{2}x \right )\left ( -\sin \frac{5}{2}x \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{2\sin \left ( \frac{9}{2}x \right )\sin \left ( \frac{5}{2}x \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin (\frac{9}{2}x)}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 5x}{\sin (\frac{5}{2}x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times \frac{1}{\frac{9}{2}}\times \frac{5}{\frac{5}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times \frac{2}{9}\times \frac{10}{5}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{9}\times 2\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{2}{9} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{-2\sin \frac{1}{2}(2x+7x)\sin \frac{1}{2}(2x-7x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{-2\sin \frac{1}{2}(9x)\sin \frac{1}{2}(-5x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{-2\sin \left ( \frac{9}{2}x \right )\left ( -\sin \frac{5}{2}x \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan 5x}{2\sin \left ( \frac{9}{2}x \right )\sin \left ( \frac{5}{2}x \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin (\frac{9}{2}x)}\times \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan 5x}{\sin (\frac{5}{2}x)}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times \frac{1}{\frac{9}{2}}\times \frac{5}{\frac{5}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}\times \frac{2}{9}\times \frac{10}{5}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{9}\times 2\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{2}{9} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(c)}$
19. Soal SNMPTN Tahun 2010
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}=\ ...\\
&\text {a.}\ \sqrt{2}\\
&\text {b.}\ 1\\
&\text {c.}\ \frac{1}{2}\\
&\text {d.}\ \frac{1}{4}\\
&\text {e.}\ 0
\end {aligned}$
Dengan menggunakan teorema limit fungsi trigonometri, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{\frac{4x}{\sin 2x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{4x}{\sin 2x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{\frac{4}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x\to0}\sqrt{\frac{4x}{\sin 2x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{4x}{\sin 2x}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{\frac{4}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{2} \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(a)}$
20. Soal SPMB Matematika Tahun 2009
$\begin {aligned}
&\text {Nilai}\ \displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sin (1-x^{2})\cos (1-x^{2})}{x^{2}-1}=\ ...\\
&\text {a.}\ 1\\
&\text {b.}\ -1\\
&\text {c.}\ 2\\
&\text {d.}\ -2\\
&\text {e.}\ 0
\end {aligned}$
Dengan menggunakan pemisalan $a=1-x^{2}$ atau setara dengan $-a=x^{2}-1$. Jika $x\to-1$ maka $a\to0$ dan teorema limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{ax}=1$, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sin (1-x^{2})\cos (1-x^{2})}{x^{2}-1} \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\sin (1-x^{2})$ dan $\cos (1-x^{2})$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin a\cos a}{-a}\\ \\ &\Leftrightarrow -\displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin a}{a}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\cos a}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow -1\times \displaystyle\lim_{a\to0}\cos a\\ \\ &\Leftrightarrow -1\times \cos 0\\ \\ &\Leftrightarrow -1\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow -1 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(b)}$
$\begin {aligned} &\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\sin (1-x^{2})\cos (1-x^{2})}{x^{2}-1} \end {aligned}$
Kita terapkan pemisalan di atas pada fungsi $\sin (1-x^{2})$ dan $\cos (1-x^{2})$, sehingga
$\begin {aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin a\cos a}{-a}\\ \\ &\Leftrightarrow -\displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\sin a}{a}\times \displaystyle\lim_{a\to0}\frac{\cos a}{1}\\ \\ &\Leftrightarrow -1\times \displaystyle\lim_{a\to0}\cos a\\ \\ &\Leftrightarrow -1\times \cos 0\\ \\ &\Leftrightarrow -1\times 1\\ \\ &\Leftrightarrow -1 \end {aligned}$
$\therefore $ pilih $\text {(b)}$
Itulah beberapa soal dan pembahasan dari materi limit fungsi trigonometri dengan soal-soal yang lebih beragam. Teruslah berlatih mencoba menemukan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal limit fungsi trigonometri dari sumber-sumber yang lain.
Petunjuk singkat dalam berlatih limit fungsi trigonometri, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan tipe soal yang berbeda-beda dari limit fungsi trigonometri.
untuk lebih memahami materi tentang limit fungsi trigonometri silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf. Materi pdf masih sama dengan pertemuan yang sebelumnya.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi trigonometri pertemuan kedua, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf
Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Trigonometri secara mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih dahulu definisi limit fungsi trigonometri
- Pahami dan hafalkan sifat-sifat limit fungsi trigonometri
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal limit fungsi trigonometri
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal limit fungsi trigonometri yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi trigonometri.
