Matematika Peminatan Kelas 10 | Fungsi EksponenApabila Anda tidak dapat menjelaskan sesuatu hal secara sederhana, artinya Anda belum cukup paham.
1. Pendahuluan
Pandemi Covid-19 yang mewabah akhir-akhir ini rasanya sangat cocok untuk menggambarkan materi yang akan kita bahas sekarang tentang Fungsi Eksponen. Misalkan satu orang yang terkena virus Covid-19 menularkan kepada dua orang pada minggu pertama, kemudian dua orang yang tertular juga menularkan pada dua orang yang lain dari masing-masing mereka di minggu berikutnya, kemudian dua orang yang baru tertular-pun menularkan pada dua orang yang lain dari masing-masing mereka di minggu berikutnya lagi, demikian seterusnya secara kontinu, dengan mengabaikan faktor-faktor penghambatnya.
Pada contoh di atas merupakan salah satu gambaran dari materi Fungsi Eksponen, bila digambarkan dengan diagram pohon, menjadi:
Diagram pohon penularan Covid-19
Daftar jumlah orang yang terkena Covid-19 terhadap selang waktu per minggu, misalkan $t=$ selang waktu per minggu, maka banyak orang yang terkena Covid-19 ditunjukkan pada tabel berikut
| $t$ | $f(x)$ banyak orang |
|---|---|
| $\begin {aligned} t&=0\\ t&=1\\ t&=2\\ t&=3\\ &.\ .\ .\\ t&=10\\ &.\ .\ .\\ t&=n\\ \end{aligned}$ | $\begin {aligned} &1\\ &1\times 2&=1\times 2^{1}\\ &1\times 2\times 2&=1\times 2^{2}\\ &1\times 2\times 2\times 2&=1\times 2^{3}\\ &.\ .\ .\\ &1\times 2\times 2\times ...\times 2&=1\times 2^{10}\\ &.\ .\ .\\ &1\times 2\times 2\times ...\times n&=1\times 2^{n}\\ \end{aligned}$ |
Jumlah banyak orang yang terkena Covid-19 pada minggu ke $n$ terlihat pada tabel berbentuk fungsi eksponen. Bila kita perhatikan sekali lagi dengan membandingkan pada fungsi yang telah kita pelajari sebelumnya seperti fungsi $f(x)=x^{2}$ dengan variabel $x$ sebagai bilangan pokok dan pangkatnya adalah bilangan tetapan 2, namun pada fungsi eksponen justru kebalikannya seperti contoh di atas $f(n)=2^{n}$ bilangan tetapan 2 sebagai bilangan pokok dan variabel $n$ justru sebagai pangkatnya.
2. Definisi Umum Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen adalah fungsi yang persamaannya dapat dinyatakan dalam bentuk:
$y=f(x)=b\ \cdot a^{x},\ b\neq 0, a>0$ dan $a\neq 1$ tetapan $a$ disebut sebagai bilangan pokok
3. Menggambar Grafik Fungsi Eksponen
Untuk menggambar grafik fungsi eksponen $f(x)=a^{x}$ ada dua tipe gambar secara keseluruhan, yaitu:
a. Menggambar grafik fungsi eksponensial untuk $a>1$
Tipe yang pertama ini disebut pula dengan fungsi naik, untuk menggambar kurvanya buat sebuah tabel padanan nilai $x$ dan $y=f(x)$ sebagai acuan untuk menghubungkan pada koordinat cartesius dengan mudah, buat fungsi yang paling sederhana dulu untuk kita jadikan sebagai pembanding dalam mencari pola yang terbentuk pada grafik fungsi eksponen. Misalkan kita akan menggambar grafik fungsi $f(x)=2^{x}$ fungsi yang dijadikan sebagai pembanding. Data nilai $x$ dan $y$ disajikan pada tabel berikut.
| $x$ | $y=f(x)=2^{x}$ |
|---|---|
| . . . | . . . |
| - 4 | $\frac{1}{16}$ |
| - 3 | $\frac{1}{8}$ |
| - 2 | $\frac{1}{4}$ |
| - 1 | $\frac{1}{2}$ |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| . . . | . . . |
Sekarang kita hubungkan pada koordinat cartesius data padanan $x$ dan $y$ sebagai acuannya
Pada grafik di atas padanan titik-titik $x$ dan $y$ pada tabel digambarkan dengan titik warna merah pada gambar, fungsi $f(x)=2^{x}$ memotong sumbu-Y di titik $(0,1)$ sedangkan pada sumbu-X tidak memotong atau asimtot datar terhadap sumbu-X negatif.
Selanjutnya kita akan membandingkan dengan fungsi $f(x)=a^{x}$ yang lainnya untuk $a>1$ supaya kita menemukan pola menggambar grafik fungsi eksponensial, langkahnya sama dengan yang sebelumnya dengan bantuan tabel, namun kali ini kita langsung ke pembahasan gambar grafik fungsi agar pembahasan kita tidak terlalu panjang. Misalkan kita akan menggambar grafik fungsi $f(x)=2^{x}$ sebagai pembandingnya, fungsi $f(x)=3^{x}$, $f(x)=5^{x}$, dan $f(x)=10^{x}$. Maka grafiknya adalah
Pada gambar dia atas kurva warna hitam adalah fungsi $f(x)=2^{x}$, warna oranye adalah $f(x)=3^{x}$, warna hijau adalah $f(x)=5^{x}$, dan warna biru adalah $f(x)=10^{x}$. Dari ke-empat gambar dapat kita simpulkan bahwa
- Fungsi memotong sumbu-Y pada titik $(0,1)$
- Asimtot datar terhadap sumbu-X negatif
- Fungsi $f(x)=a^{x}$ untuk $a>1$, semakin nilai $a$ besar maka grafik fungsi semakin mendekati sumbu tegak atau sumbu-Y
Pada grafik fungsi $f(x)=a^{x}$ untuk $a>1$ disebut pula sebagai fungsi pertumbuhan.
b. Menggambar grafik fungsi eksponensial untuk $0<a<1$ atau fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{a} \right )^{x}$
Tipe yang kedua ini disebut pula dengan fungsi turun, untuk menggambar kurvanya buat sebuah tabel padanan nilai $x$ dan $y=f(x)$ sebagai acuan untuk menghubungkan pada koordinat cartesius dengan mudah, buat fungsi yang paling sederhana dulu untuk kita jadikan sebagai pembanding dalam mencari pola yang terbentuk pada grafik fungsi eksponen. Misalkan kita akan menggambar grafik fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ fungsi yang dijadikan sebagai pembanding. Data nilai $x$ dan $y$ disajikan pada tabel berikut.
| $x$ | $y=f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ |
|---|---|
| . . . | . . . |
| - 4 | $16$ |
| - 3 | $8$ |
| - 2 | $4$ |
| - 1 | $2$ |
| 0 | 1 |
| 1 | $\frac{1}{2}$ |
| 2 | $\frac{1}{4}$ |
| 3 | $\frac{1}{8}$ |
| 4 | $\frac{1}{16}$ |
| . . . | . . . |
Sekarang kita hubungkan pada koordinat cartesius data padanan $x$ dan $y$ sebagai acuannya
Pada grafik di atas padanan titik-titik $x$ dan $y$ pada tabel digambarkan dengan titik warna merah pada gambar, fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ memotong sumbu-Y di titik $(0,1)$ sedangkan pada sumbu-X tidak memotong atau asimtot datar terhadap sumbu-X positif. Bila kita perhatikan dengan fungsi $f(x)=2^{x}$ ternyata saling simetri terhadap sumbu-Y, dengan demikian kurva $f(x)=2^{x}$ bisa diperoleh dari pencerminan kurva $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ dengan cermin sumbu-Y, begitupun sebaliknya.
Selanjutnya kita akan membandingkan dengan fungsi $f(x)=a^{x}$ yang lainnya untuk $0<a<1$ atau fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{a} \right )^{x}$ supaya kita menemukan pola menggambar grafik fungsi eksponensial, langkahnya sama dengan yang sebelumnya dengan bantuan tabel, namun kali ini kita langsung ke pembahasan gambar grafik fungsi agar pembahasan kita tidak terlalu panjang. Misalkan kita akan menggambar grafik fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$ sebagai pembandingnya, fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x}$, $f(x)=\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}$, dan $f(x)=\left ( \frac{1}{10} \right )^{x}$. Maka grafiknya adalah
Pada gambar dia atas kurva warna hitam adalah fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$, warna oranye adalah $f(x)=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x}$, warna hijau adalah $f(x)=\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}$, dan warna biru adalah $f(x)=\left ( \frac{1}{10} \right )^{x}$. Dari ke-empat gambar dapat kita simpulkan bahwa
- Fungsi memotong sumbu-Y pada titik $(0,1)$
- Asimtot datar terhadap sumbu-X positif
- Fungsi $f(x)=a^{x}$ untuk $0<a<1$ atau fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{a} \right )^{x}$, semakin nilai $a$ kecil maka grafik fungsi semakin mendekati sumbu tegak atau sumbu-Y
- Kurva $f(x)=a^{x}$ dan fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{a} \right )^{x}$ saling simetri terhadap sumbu-Y
Pada grafik fungsi $f(x)=a^{x}$ untuk $0<a<1$ atau fungsi $f(x)=\left ( \frac{1}{a} \right )^{x}$ disebut pula sebagai fungsi peluruhan.
4. Fungsi Pertumbuhan dan Fungsi Peluruhan
a. Fungsi Pertumbuhan
Pertumbuhan eksponensial adalah perubahan yang terjadi ketika jumlah awal ditingkatkan dengan tingkat yang konsisten selama periode waktu tertentu. Fungsi pertumbuhan dimodelkan dengan
$\Large y=b\ \cdot a^{x}$
$b\neq 0,a>0$ dan $a\neq 1$ untuk $a>1$ adalah faktor pertumbuhan
dengan faktor pertumbuhan $a=(1+r)$
$r=$ laju pertumbuhan per selang waktu $T$
$y=$ jumlah setelah selang waktu $t$, dan
fraksi $x=\frac {t}{T}$
b. Fungsi Peluruhan$b\neq 0,a>0$ dan $a\neq 1$ untuk $a>1$ adalah faktor pertumbuhan
dengan faktor pertumbuhan $a=(1+r)$
$r=$ laju pertumbuhan per selang waktu $T$
$y=$ jumlah setelah selang waktu $t$, dan
fraksi $x=\frac {t}{T}$
Peluruhan adalah perubahan secara kuantitas suatu objek baik benda mati maupun benda hidup yang semakin lama semakin menurun jumlahnya atau semakin sedikit atau menyusut dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Fungsi peluruhan dimodelkan dengan
$\Large y=b\ \cdot a^{x}$
$b\neq 0,a>0$ dan $a\neq 1$ untuk $0<a<1$ adalah faktor pertumbuhan
dengan faktor pertumbuhan $a=(1-r)$
$r=$ laju pertumbuhan per selang waktu $T$
$y=$ jumlah setelah selang waktu $t$, dan
fraksi $x=\frac {t}{T}$
Untuk lebih memahami lagi materi fungsi eksponen, ikutilah contoh-contoh soal berikut.$b\neq 0,a>0$ dan $a\neq 1$ untuk $0<a<1$ adalah faktor pertumbuhan
dengan faktor pertumbuhan $a=(1-r)$
$r=$ laju pertumbuhan per selang waktu $T$
$y=$ jumlah setelah selang waktu $t$, dan
fraksi $x=\frac {t}{T}$
5. Pembahasan dan Contoh Soal
Contoh soal
1. Populasi belalang pada suatu daerah berlipat tiga setiap bulan dan dimodelkan sebagai $f(x)=50\ \cdot 3^{x}$, dengan $x$ adalah rasio lamanya waktu terhadap periode satu bulan. Tentukan:
a. Jumlah belalang mula-mula?
b. Jumlah belalang setelah setengah tahun?
a. Untuk jumlah belalang mula-mula maka nilai $x=0$ kita substitusikan pada $f(x)=50\ \cdot 3^{x}$, menjadi
$\begin{aligned}
f(x)&=50\ \cdot 3^{x}\\
f(0)&=50\ \cdot 3^{0}\\
&=50\ \cdot 1\\
&=50
\end{aligned}$
Jadi jumlah belalang mula-mula adalah 50 ekor.
b. Untuk jumlah belalang setelah setengah tahun artinya setelah 6 bulan, maka bila kita bandingkan dengan lamanya waktu terhadap periode satu bulan, nilai $x=\frac{6}{1}=6$ kita substitusikan pada $f(x)=50\ \cdot 3^{x}$, menjadi
$\begin{aligned}
f(x)&=50\ \cdot 3^{x}\\
f(6)&=50\ \cdot 3^{6}\\
&=50\ \cdot 729\\
&=36.450
\end{aligned}$
Jadi jumlah belalang setelah setengah tahun adalah 36.450 ekor.
$\begin{aligned}
f(x)&=50\ \cdot 3^{x}\\
f(0)&=50\ \cdot 3^{0}\\
&=50\ \cdot 1\\
&=50
\end{aligned}$
Jadi jumlah belalang mula-mula adalah 50 ekor.
b. Untuk jumlah belalang setelah setengah tahun artinya setelah 6 bulan, maka bila kita bandingkan dengan lamanya waktu terhadap periode satu bulan, nilai $x=\frac{6}{1}=6$ kita substitusikan pada $f(x)=50\ \cdot 3^{x}$, menjadi
$\begin{aligned}
f(x)&=50\ \cdot 3^{x}\\
f(6)&=50\ \cdot 3^{6}\\
&=50\ \cdot 729\\
&=36.450
\end{aligned}$
Jadi jumlah belalang setelah setengah tahun adalah 36.450 ekor.
2. Bakteri Entamoeba dysentriae sering membuat orang sakit perut seusai memakan makanan yang telah tercemar bakteri. Andaikan satu bakteri Entamoeba dysentriae mulai menggandakan diri setiap 30 menit, maka jumlah bakteri dapat dimodelkan sebagai fungsi $f(x)=100\ \cdot 2^{x}$, dengan $x$ adalah lamanya waktu terhadap 30 menit. Tentukan:
a. Jumlah bakteri setelah 1 jam?
b. Jumlah bakteri setelah 5 jam?
a. Untuk jumlah bakteri setelah satu jam = 60 menit, maka bila kita bandingkan dengan lamanya periode 30 menit, nilai $x=\frac{60}{30}=2$ kita substitusikan pada $f(x)=100\ \cdot 2^{x}$, menjadi
$\begin{aligned}
f(x)&=100\ \cdot 2^{x}\\
f(2)&=100\ \cdot 2^{2}\\
&=100\ \cdot 4\\
&=400
\end{aligned}$
Jadi jumlah bakteri setelah satu jam adalah 400 bakteri.
b. Untuk jumlah bakteri setelah 5 jam $=60\times 5=300$ menit, maka bila kita bandingkan dengan lamanya periode 30 menit, nilai $x=\frac{300}{30}=10$ kita substitusikan pada $f(x)=100\ \cdot 2^{x}$, menjadi
$\begin{aligned}
f(x)&=100\ \cdot 2^{x}\\
f(10)&=100\ \cdot 2^{10}\\
&=100\ \cdot 1024\\
&=102.400
\end{aligned}$
Jadi jumlah bakteri setelah satu jam adalah 102.400 bakteri.
$\begin{aligned}
f(x)&=100\ \cdot 2^{x}\\
f(2)&=100\ \cdot 2^{2}\\
&=100\ \cdot 4\\
&=400
\end{aligned}$
Jadi jumlah bakteri setelah satu jam adalah 400 bakteri.
b. Untuk jumlah bakteri setelah 5 jam $=60\times 5=300$ menit, maka bila kita bandingkan dengan lamanya periode 30 menit, nilai $x=\frac{300}{30}=10$ kita substitusikan pada $f(x)=100\ \cdot 2^{x}$, menjadi
$\begin{aligned}
f(x)&=100\ \cdot 2^{x}\\
f(10)&=100\ \cdot 2^{10}\\
&=100\ \cdot 1024\\
&=102.400
\end{aligned}$
Jadi jumlah bakteri setelah satu jam adalah 102.400 bakteri.
3. Tentukan gambar grafik fungsi $f(x)=2^{x-2}$
Pada grafik fungsi $f(x)=2^{x-2}$ kita mendapat bagian dasarnya yaitu $f(x)=2^{x}$ selanjutnya untuk mendapatkan gambar yang diminta, tinggal geser grafik fungsi $f(x)=2^{x}$ ke kanan sejauh 2 satuan secara horizontal atau mendatar, maka kita akan mendapatkan grafik fungsi $f(x)=2^{x-2}$
pada grafik warna hitam adalah fungsi $f(x)=2^{x}$, sedangkan warna merah fungsi $f(x)=2^{x-2}$, dengan cara menggeser horizontal ke kanan sejauh 2 satuan.
pada grafik warna hitam adalah fungsi $f(x)=2^{x}$, sedangkan warna merah fungsi $f(x)=2^{x-2}$, dengan cara menggeser horizontal ke kanan sejauh 2 satuan.
4. Tentukan gambar grafik fungsi $f(x)=3^{x}+2$
Pada grafik fungsi $f(x)=3^{x}+2$ kita mendapat bagian dasarnya yaitu $f(x)=3^{x}$ selanjutnya untuk mendapatkan gambar yang diminta, tinggal geser grafik fungsi $f(x)=3^{x}$ ke atas sejauh 2 satuan secara vertikal atau tegak lurus, maka kita akan mendapatkan grafik fungsi $f(x)=3^{x}+2$
pada grafik warna hitam adalah fungsi $f(x)=3^{x}$, sedangkan warna merah fungsi $f(x)=3^{x}+2$, dengan cara menggeser vertikal ke atas sejauh 2 satuan.
pada grafik warna hitam adalah fungsi $f(x)=3^{x}$, sedangkan warna merah fungsi $f(x)=3^{x}+2$, dengan cara menggeser vertikal ke atas sejauh 2 satuan.
5. Tentukan gambar grafik fungsi $f(x)=5^{x+3}$ dan $f(x)=5^{x}-3$
Pada grafik fungsi $f(x)=5^{x+3}$ dan $f(x)=5^{x}-3$ kita mendapat bagian dasarnya yaitu $f(x)=5^{x}$ selanjutnya untuk mendapatkan grafik fungsi $f(x)=5^{x+3}$ dengan menggeser ke kiri secara horizontal sejauh 3 satuan, dan untuk grafik fungsi $f(x)=5^{x}-3$ tinggal geser ke bawah sejauh 3 satuan secara vertikal, maka kita akan mendapatkan grafik fungsi yang diminta
pada grafik warna hitam adalah fungsi $f(x)=5^{x}$, warna hijau fungsi $f(x)=5^{x+3}$ dengan menggeser sejauh 3 satuan ke kiri, sedangkan warna merah fungsi $f(x)=5^{x}-3$ dengan cara menggeser ke bawah sejauh 3 satuan.
pada grafik warna hitam adalah fungsi $f(x)=5^{x}$, warna hijau fungsi $f(x)=5^{x+3}$ dengan menggeser sejauh 3 satuan ke kiri, sedangkan warna merah fungsi $f(x)=5^{x}-3$ dengan cara menggeser ke bawah sejauh 3 satuan.
6. Jumlah penduduk Indonesia pada tahun 2020 sekitar 230 juta jiwa. Badan Pusat Statistik memprediksi pertumbuhan penduduk sekitar 1,2%. Tentukan:
a. Model persamaanb. Jumlah perkiraan penduduk tahun 2025
a. Model persamaan ini adalah fungsi pertumbuhan, karena perubahan jumlah meningkat yang konsisten dalam kurun waktu tertentu, maka kita memodelkan dengan $y=b\ \cdot a^{x}$ untuk $a>1$.
$b$ adalah jumlah mula-mula dalam hal ini = 230 juta.
$1,2$%$=\frac{1,2}{100}=0,012$ adalah laju pertumbuhan = $r$
maka faktor yang mempengruhi pertumbuhan adalah $a=(1+r)$ dalam hal ini $a=(1+0,012)=1,012$.
Sehingga dapat dimodelkan menjadi
$\begin {aligned}
y&=230\ \cdot (1,012)^{x}&x=5\\
&=230\ \cdot (1,012)^{5}\\
&=244,135198
\end {aligned}$
Gunakan kalkulator untuk menghitungnya, agar mempermudah kita.
Jadi jumlah penduduk Indonesia di tahun 2025 diprediksi sekitar 244 juta jiwa.
$b$ adalah jumlah mula-mula dalam hal ini = 230 juta.
$1,2$%$=\frac{1,2}{100}=0,012$ adalah laju pertumbuhan = $r$
maka faktor yang mempengruhi pertumbuhan adalah $a=(1+r)$ dalam hal ini $a=(1+0,012)=1,012$.
Sehingga dapat dimodelkan menjadi
$y=230\ \cdot (1,012)^{x}$
b. Jumlah penduduk tahun 2025, berarti kita tentukan nilai $x$ pada persamaan model matematika dari awal tahun 2020 sampai awal 2025 atau selama 5 tahun, maka nilai $x=5$. Kita substitusikan ke dalam model persamaan matematika di atas, menjadi$\begin {aligned}
y&=230\ \cdot (1,012)^{x}&x=5\\
&=230\ \cdot (1,012)^{5}\\
&=244,135198
\end {aligned}$
Gunakan kalkulator untuk menghitungnya, agar mempermudah kita.
Jadi jumlah penduduk Indonesia di tahun 2025 diprediksi sekitar 244 juta jiwa.
7. Romi menabung sejumlah Rp. 5.000.000,00 disebuah bank dan memperoleh bunga majemuk tetap 3% per tahun, dan Romi tidak pernah mengambil uangnya. Berapakah tabungan Romi pada akhir tahun ke-6?
Bunga majemuk tetap merupakan salah satu contoh dari fungsi pertumbuhan, maka untuk menyelesaikan soal di atas, kita mencari model matematikanya terlebih dahulu dengan fungsi pertumbuhan $y=b\ \cdot a^{x}$ untuk $a>1$.
$b$ adalah jumlah uang mula-mula, dalam hal ini Rp.5.000.000,00
$r$ adalah suku bunga majemuk $r=3$%$=\frac{3}{100}=0,03$ per tahun
$a$ adalah faktor pertumbuhan $a=(1+r)=(1+0,03)=1,03$
maka model matematika menjadi
$\begin {aligned}
y&=5.000.000\ \cdot (1,03)^{x}&x=6\\
&=5.000.000\ \cdot (1,03)^{6}\\
&=5.970.261,482645
\end {aligned}$
Gunakan kalkulator untuk menghitungnya, agar mempermudah kita.
Jadi uang Romi setelah menabung selama 6 tahun sekitar Rp.5.970.261
$b$ adalah jumlah uang mula-mula, dalam hal ini Rp.5.000.000,00
$r$ adalah suku bunga majemuk $r=3$%$=\frac{3}{100}=0,03$ per tahun
$a$ adalah faktor pertumbuhan $a=(1+r)=(1+0,03)=1,03$
maka model matematika menjadi
$y=5.000.000\ \cdot (1,03)^{x}$
Selanjutnya Romi menabung selama 6 tahun, maka $x=6$ sehingga penyelesaian akhirnya adalah$\begin {aligned}
y&=5.000.000\ \cdot (1,03)^{x}&x=6\\
&=5.000.000\ \cdot (1,03)^{6}\\
&=5.970.261,482645
\end {aligned}$
Gunakan kalkulator untuk menghitungnya, agar mempermudah kita.
Jadi uang Romi setelah menabung selama 6 tahun sekitar Rp.5.970.261
8. Nilai jual sebuah mobil bekas adalah Rp.75.000.000,00. Jika nilai jual mobil mengalami penyusutan sebanyak 12% per tahun. Tentukan nilai jual mobil bekas setelah 3 tahun kemudian?
Karena nilai jual mobil mengalami penyusutan secara tetap maka dengan demikian merupakan contoh dari fungsi peluruhan $y=b\ \cdot a^{x}$ untuk $0<a<1$.
$b$ adalah nilai jual mobil mula-mula, dalam hal ini Rp.75.000.000,00
$r$ adalah persentase penyusutan $r=12$%$=\frac{12}{100}=0,12$ per tahun
$a$ adalah faktor peluruhan $a=(1-r)=(1-0,12)=0,88$
maka model matematika menjadi
$\begin {aligned}
y&=75.000.000\ \cdot (0,88)^{x}&x=3\\
&=75.000.000\ \cdot (0,88)^{3}\\
&=51.110.400
\end {aligned}$
Jadi nilai jual mobil bekas setelah 3 tahun kemudian menjadi Rp.51.110.400
$b$ adalah nilai jual mobil mula-mula, dalam hal ini Rp.75.000.000,00
$r$ adalah persentase penyusutan $r=12$%$=\frac{12}{100}=0,12$ per tahun
$a$ adalah faktor peluruhan $a=(1-r)=(1-0,12)=0,88$
maka model matematika menjadi
$y=75.000.000\ \cdot (0,88)^{x}$
Nilai jual mobil beas setelah 3 tahun menjadi$\begin {aligned}
y&=75.000.000\ \cdot (0,88)^{x}&x=3\\
&=75.000.000\ \cdot (0,88)^{3}\\
&=51.110.400
\end {aligned}$
Jadi nilai jual mobil bekas setelah 3 tahun kemudian menjadi Rp.51.110.400
9. Untuk membunuh beberapa bentuk kanker, para dokter menggunakan iodium radioaktif I-131. waktu paruh radioaktif I-131 adalah 8 hari. Seorang pasien menerima pengobatan 16 mCi $\text {(millicurie)}$ satuan untuk mengukur aktivitas radiasi. Berapa banyak zat radioaktif I-131 yang tertinggal dalam tubuh pasien setelah 32 hari?
waktu paruh adalah waktu yang diperlukan oleh inti radioaktif untuk meluruh hingga aktivitasnya menjadi setengah aktivitas mula-mula, merupakan subjek dari peluruhan eksponensial, maka kita menggunakan fungsi peluruhan $y=b\ \cdot a^{x}$ untuk $0<a<1$
$b$ adalah jumlah radioaktif I-131 mula-mula, dalam hal ini 16 mCi
$T$ waktu paruh I-131 selama 8 hari $T=8$
$a$ faktor peluruhan waktu paruh I-131 $a=\frac {1}{2}$
$t$ waktu selama 32 hari $t=32$
$x$ rasio setelah 32 hari $x=\frac {t}{T}=\frac {32}{8}=4$
maka model matematika menjadi
$\begin {aligned}
y&=16\ \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}&x=4\\
&=16\ \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\\
&=16\ \cdot \frac{1}{16}\\
&=1
\end {aligned}$
Jadi banyak zat radioaktif I-131 yang tertinggal dalam tubuh pasien adalah 1 mCi
$b$ adalah jumlah radioaktif I-131 mula-mula, dalam hal ini 16 mCi
$T$ waktu paruh I-131 selama 8 hari $T=8$
$a$ faktor peluruhan waktu paruh I-131 $a=\frac {1}{2}$
$t$ waktu selama 32 hari $t=32$
$x$ rasio setelah 32 hari $x=\frac {t}{T}=\frac {32}{8}=4$
maka model matematika menjadi
$y=16\ \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$
Banyak sisa zat radioaktif setelah 32 hari adalah$\begin {aligned}
y&=16\ \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}&x=4\\
&=16\ \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\\
&=16\ \cdot \frac{1}{16}\\
&=1
\end {aligned}$
Jadi banyak zat radioaktif I-131 yang tertinggal dalam tubuh pasien adalah 1 mCi
10. Suatu spesies bakteri tertentu dalam sebuah labolatorium pembiakan dimulai dengan 30 bakteri. Bakteri ini dapat menggandakan diri setiap 45 menit. Berapa waktu yang dibutuhkan oleh bakteri sehingga memperoleh jumlah 1920 bakteri?
Pada permasalahan ini kita bisa menggunakan bantuan tabel untuk mempermudah mencari penyelesaiannya, dengan fungsi eksponen $f(x)=30\ \cdot 2^{x}$ dengan 30 adalah bakteri mula-mula, faktor pertumbuhan bakterinya adalah 2, dan $x$ adalah lama bakteri untuk menggandakan diri dalam periode 45 menit, bila dibuat tabelnya menjadi?
pada tebel terlihat saat nilai $x=6$ jumlah bakteri adalah 1920, sesuai dengan yang ditanyakan, maka kita bisa menentukan waktu yang dibutuhkan bakteri untuk membelah menjadi 1920 adalah dengan cara mengalikan nilai $x$ dengan periode 45 menit, sehingga
$t=x\ \cdot 45=6\ \cdot 45=270$ menit atau sama dengan 4,5 jam.
| $x$ | $y=f(x)=30\ \cdot 2^{x}$ |
|---|---|
| . . . | . . . |
| - 2 | $\frac {15}{2}$ |
| - 1 | 15 |
| 0 | 30 |
| 1 | 60 |
| 2 | 120 |
| 3 | 240 |
| 4 | 480 |
| 5 | 960 |
| 6 | 1920 |
| . . . | . . . |
$t=x\ \cdot 45=6\ \cdot 45=270$ menit atau sama dengan 4,5 jam.
6. Penutupan
Itulah beberapa materi dan soal berikut pembahasannya dari fungsi eksponen. Teruslah berlatih mencoba menemukan materi dan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal fungsi eksponen dari sumber-sumber yang lain. Satu catatan pada pertemuan kali ini bedakan antara fungsi pertumbuhan dan fungsi peluruhan karena rumusnya sama namun faktornya yang membedakan.
Petunjuk singkat dalam berlatih fungsi eksponen, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan soal fungsi eksponen.
untuk lebih memahami materi tentang fungsi eksponen silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal fungsi eksponen, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Panduan Belajar Memahami Materi Fungsi Eksponen Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih dahulu definisi fungsi eksponen
- Pahami dan hafalkan menggambar grafik fungsi eksponen, fungsi pertumbuhan, dan fungsi peluruhan
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal fungsi eksponen
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal fungsi eksponen yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami fungsi eksponen silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep fungsi eksponen.
