Matematika Peminatan Kelas 10 | Eksponen PecahanBelajar matematika, seperti sungai Nil, dimulai dari yang kecil, namun berakhir di kemegahan.Masih ingatkah tentang materi sebelumnya Eksponen?
$\large \begin {aligned}
\displaystyle a^{n}&=\underbrace{a\times a\times a\times a\times \ ...\ \times a}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text {sebanyak n}
\end{aligned}$
Bagaimana jika n sebagai pangkat eksponen bukan bilangan bulat $\left \{ x\mid x=...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... \right \}$ seperti yang telah dipelajari pada pertemuan sebelumnya, akan tetapi merupakan bilangan rasional $\left \{ x\mid x=\frac{a}{b}\right \}$ dengan $a$ Bil. Bulat dan $b\neq 0$ atau dengan bentuk pecahan $\frac{a}{b}$ dengan $b\neq 0$, maka kita akan menemukan eksponen dengan pangkat pecahan.\end{aligned}$
Pada pertemuan kita kali ini akan membahas materi Eksponen dengan Pangkat Pecahan, seperti yang telah dijelaskan sekilas di atas. Eksponen Pecahan sangat berhubungan erat dengan bentuk akar, karena setiap bentuk eksponen dengan pangkat pecahan kita bisa membuatnya menjadi bentuk akar, begitupun sebaliknya. Seperti misalnya pada contoh di bawah ini:
a. $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$
b. $3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$
c. $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^{2}}$
d. $a^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{a^{3}}$
Pada contoh di atas dapat kita lihat antara eksponen pecahan dengan bentuk akar saling berhubungan, atau bila kita sederhanakan bentuk akar merupakan eksponen pecahan, karena pada contoh a sampai d kita tidak bisa sederhanakan menjadi bilangan bulat, artinya dari a sampai d merupakan bentuk akar. Pada materi eksponen pecahan kita batasi pada anggota himpunan bilangan Real, agar pembelajaran kita tidak terlampau jauh.
Definisi dari eksponen pecahan adalah:
Jika $a\geq 0$, $m$ dan $n$ bilangan bulat positif, maka:
$\Large \displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\Leftrightarrow \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
Catatan:$\Large \displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\Leftrightarrow \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
1. $a$ boleh negatif jika $n$ bilangan ganjil. Misalkan
$\sqrt[3]{-1}=\sqrt[3]{(-1)^{3}}=-1$ terdefinisi Bil. Real
$\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^{5}}=-2$ terdefinisi Bil. Real
2. Akan tetapi untuk $n$ bilangan genap, maka $a$ tidak boleh negatif, Misalkan
$\sqrt[2]{-1}=\sqrt{-1}$ tidak terdefinisi Bilangan Real
$\sqrt[4]{-16}$ tidak terdefinisi Bilangan Real
Alasan untuk nomor 1 bahwa $a$ boleh negatif jika $n$ bilangan ganjil, seperti $\sqrt[3]{-1}=-1$. Karena jika kita pangkatkan $(-1)^{3}=-1$ maka penarikan akar pangkat tiga $\sqrt[3]{-1}$ adalah benar $-1$, juga untuk $\sqrt[5]{-32}=-2$. Karena jika kita pangkatkan $(-2)^{5}=-32$ maka penarikan akar pangkat lima $\sqrt[5]{-32}$ adalah benar $-2$.
Akan tetapi untuk nomor 2 bahwa jika $n$ bilangan genap, maka $a$ tidak boleh negatif, seperti $\sqrt[2]{-1}=\sqrt{-1}$. Karena jika kita pangkatkan $(-1)^{2}=1$ menghasilkan bilangan positif, bukan negatif. Maka dari itu, $\sqrt[2]{-1}$ tidak terdefinisi pada bilangan Real seperti yang telah kita sepakati di atas, bahwa kita batasi pada anggota himpunan bilangan Real. Begitupun untuk $\sqrt[4]{-16}$. Karena jika kita pangkatkan $(-2)^{4}=16$ menghasilkan bilangan positif, bukan negatif. Maka dari itu, $\sqrt[4]{-16}$ tidak terdefinisi juga pada bilangan Real.
Sifat-sifat pada eksponen pecahan juga melekat pada sifat-sifat dari eksponen itu sendiri. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, ke-tujuh sifat dari eksponen juga berlaku pada sifat eksponen pecahan.
Sifat - sifat Eksponen
(1.) $\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
(2.) $\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
(3.) $\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
(4.) $\large \left ( a\cdot b \right )^{n}=a^{n}\cdot b^{n} $
(5.) $\large \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} , b\neq 0$
(6.) $\large a^{0}=1$
(7.) $\large a^{-1}=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a\neq 0$
Untuk lebih mendalami lagi pada materi eksponen pecahan, simak contoh-contoh penerapannya pada soal di bawah ini.
Contoh Soal
1. Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk eksponen pecahan.
$\large \text {a.}\ \displaystyle \sqrt{3}$
$\large \text {b.}\ \displaystyle \sqrt[5]{16}$
$\large \text {c.}\ \displaystyle 3x^{2}\sqrt[4]{x^{2}}$
$\large \text {d.}\ \displaystyle \frac{4x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
1. Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk eksponen pecahan.
$\large \text {a.}\ \displaystyle \sqrt{3}$
Dengan menggunakan definisi eksponen pecahan, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \displaystyle \sqrt{3}=\displaystyle \sqrt[2]{3^{1}}=\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}$
$\large \displaystyle \sqrt{3}=\displaystyle \sqrt[2]{3^{1}}=\displaystyle 3^{\frac{1}{3}}$
$\large \text {b.}\ \displaystyle \sqrt[5]{16}$
Dengan menggunakan definisi eksponen pecahan, maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \displaystyle \sqrt[5]{16}=\displaystyle \sqrt[5]{2^{4}}=\displaystyle 2^{\frac{4}{5}}$
$\large \displaystyle \sqrt[5]{16}=\displaystyle \sqrt[5]{2^{4}}=\displaystyle 2^{\frac{4}{5}}$
$\large \text {c.}\ \displaystyle 3x^{2}\sqrt[4]{x^{2}}$
Dengan menggunakan definisi eksponen pecahan dan sifat eksponen
$a^{m}\times a^{m}=a^{m+n}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle 3x^{2}\sqrt[4]{x^{2}}&=\displaystyle 3x^{2}\cdot \left ( x^{\frac{2}{4}} \right )\\ \\ &=\displaystyle 3x^{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=\displaystyle 3\cdot x^{2+\frac{1}{2}}\\ \\ &=\displaystyle 3^{\frac{5}{2}} \end{aligned}$
$a^{m}\times a^{m}=a^{m+n}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle 3x^{2}\sqrt[4]{x^{2}}&=\displaystyle 3x^{2}\cdot \left ( x^{\frac{2}{4}} \right )\\ \\ &=\displaystyle 3x^{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=\displaystyle 3\cdot x^{2+\frac{1}{2}}\\ \\ &=\displaystyle 3^{\frac{5}{2}} \end{aligned}$
$\large \text {d.}\ \displaystyle \frac{4x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
Dengan menggunakan definisi eksponen pecahan dan sifat eksponen
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle \frac{4x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}&=\displaystyle \frac{4x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}\\ \\ &=\displaystyle 4x^{2-\frac{2}{3}}\\ \\ &=\displaystyle 4x^{\frac{4}{3}} \end{aligned}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle \frac{4x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}&=\displaystyle \frac{4x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}\\ \\ &=\displaystyle 4x^{2-\frac{2}{3}}\\ \\ &=\displaystyle 4x^{\frac{4}{3}} \end{aligned}$
2. Sederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen pecahan, kemudian hitunglah hasilnya.
$\large \text {a.}\ \displaystyle 100^{\frac{1}{2}}\times 32^{\frac{2}{5}}$
$\large \text {b.}\ \displaystyle (0,25)^{0,5}+(0,04)^{0,5}$
$\large \text {c.}\ \displaystyle 16^{0,125}-(0,5)^{-0,5}$
$\large \text {a.}\ \displaystyle 100^{\frac{1}{2}}\times 32^{\frac{2}{5}}$
Dengan menggunakan sifat eksponen
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle 100^{\frac{1}{2}}\times 32^{\frac{2}{5}}&=\left ( 10^{2} \right )^{\frac{1}{2}}\times \left ( 2^{5} \right )^{\frac{2}{5}}\\ \\ &=10^{2\times \frac{1}{2}}\times 2^{5\times \frac{2}{5}}\\ \\ &=10^{1}\times 2^{2}\\ \\ &=10\times 4\\ \\ &=40 \end{aligned}$
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle 100^{\frac{1}{2}}\times 32^{\frac{2}{5}}&=\left ( 10^{2} \right )^{\frac{1}{2}}\times \left ( 2^{5} \right )^{\frac{2}{5}}\\ \\ &=10^{2\times \frac{1}{2}}\times 2^{5\times \frac{2}{5}}\\ \\ &=10^{1}\times 2^{2}\\ \\ &=10\times 4\\ \\ &=40 \end{aligned}$
$\large \text {b.}\ \displaystyle (0,25)^{0,5}+(0,04)^{0,5}$
Dengan menggunakan definisi eksponen pecahan dan sifat bentuk akar
$\large \sqrt{a^{2}}=a$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle &(0,25)^{0,5}+(0,04)^{0,5}\\ \\ &\Leftrightarrow (0,25)^{\frac{1}{2}}+(0,04)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{0,25}+\sqrt{0,04}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{(0,5)^{2}}+\sqrt{(0,2)^{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow 0,5+0,2\\ \\ &\Leftrightarrow 0,7 \end{aligned}$
$\large \sqrt{a^{2}}=a$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} \displaystyle &(0,25)^{0,5}+(0,04)^{0,5}\\ \\ &\Leftrightarrow (0,25)^{\frac{1}{2}}+(0,04)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{0,25}+\sqrt{0,04}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{(0,5)^{2}}+\sqrt{(0,2)^{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow 0,5+0,2\\ \\ &\Leftrightarrow 0,7 \end{aligned}$
$\large \text {c.}\ \displaystyle 16^{0,125}-(0,5)^{-0,5}$
Dengan menggunakan sifat eksponen
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{-1}=\frac{1}{a} \Rightarrow a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} \displaystyle 16^{0,125}-(0,5)^{-0,5}&=\left ( 2^{4} \right )^{\frac{1}{8}}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &=2^{4\times \frac{1}{8}}-(2)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=2^{\frac{4}{8}}-(2)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=(2)^{\frac{1}{2}}-(2)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=0 \end{aligned}$
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{-1}=\frac{1}{a} \Rightarrow a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\begin {aligned} \displaystyle 16^{0,125}-(0,5)^{-0,5}&=\left ( 2^{4} \right )^{\frac{1}{8}}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &=2^{4\times \frac{1}{8}}-(2)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=2^{\frac{4}{8}}-(2)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=(2)^{\frac{1}{2}}-(2)^{\frac{1}{2}}\\ \\ &=0 \end{aligned}$
3. Sederhanakan setiap bentuk berikut ini.
$\large \text {a.}\ \displaystyle \frac{\left ( 8 \right )^{\frac{2}{3}}-\left ( 81 \right )^{\frac{3}{4}}}{\left ( 27 \right )^{\frac{2}{3}}+\left ( 64 \right )^{\frac{1}{6}}}$
$\large \text {b.}\ \displaystyle \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}} \right )^{2}\times \left ( 16^{\frac{3}{8}} \right )}{\left ( 8^{\frac{7}{6}} \right )}$
$\large \text {c.}\ \displaystyle \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{4}{3}}}{\left ( 81^{\frac{1}{3}} \right )^{5}}\right ]^{-\frac{1}{2}}$
$\large \text {d.}\ \displaystyle \left [ \frac{\left ( 5\sqrt{125} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{\sqrt{160}} \right ]^{2}$
Itulah beberapa penjelasan singkat dari eksponen pecahan, contoh soal yang telah kita bahas hanyalah sebagian kecil materi eksponen pecahan, ada banyak soal yang lebih beragam lagi dan cara menyederhanakannya, silahkan kalian pelajari lebih dalam lagi dari sumber-sumber yang lain, agar lebih memahami secara dalam materi eksponen pecahan.
untuk lebih memahami materi tentang eksponen pecahan silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal eksponen pecahan, silahkan download juga pada link di bawah ini dalam bentuk pdf
Panduan Belajar Memahami Materi Eksponen Pecahan Secara Mandiri
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep eksponen pecahan.
$\large \text {a.}\ \displaystyle \frac{\left ( 8 \right )^{\frac{2}{3}}-\left ( 81 \right )^{\frac{3}{4}}}{\left ( 27 \right )^{\frac{2}{3}}+\left ( 64 \right )^{\frac{1}{6}}}$
Dengan menggunakan sifat eksponen
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \frac{\left ( 8 \right )^{\frac{2}{3}}-\left ( 81 \right )^{\frac{3}{4}}}{\left ( 27 \right )^{\frac{2}{3}}+\left ( 64 \right )^{\frac{1}{6}}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{2}{3}}-\left ( 3^{4} \right )^{\frac{3}{4}}}{\left ( 3^{3} \right )^{\frac{2}{3}}+\left ( 2^{6} \right )^{\frac{1}{6}}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{3\times \frac{2}{3}} \right )-\left ( 3^{4\times \frac{3}{4}} \right )}{\left ( 3^{3\times \frac{2}{3}} \right )+\left ( 2^{6\times \frac{1}{6}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{(2^{2})-(3^{3})}{(3^{2})+(2^{1})}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{4-27}{9+2}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{-23}{11} \end{aligned}$
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \frac{\left ( 8 \right )^{\frac{2}{3}}-\left ( 81 \right )^{\frac{3}{4}}}{\left ( 27 \right )^{\frac{2}{3}}+\left ( 64 \right )^{\frac{1}{6}}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{2}{3}}-\left ( 3^{4} \right )^{\frac{3}{4}}}{\left ( 3^{3} \right )^{\frac{2}{3}}+\left ( 2^{6} \right )^{\frac{1}{6}}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{3\times \frac{2}{3}} \right )-\left ( 3^{4\times \frac{3}{4}} \right )}{\left ( 3^{3\times \frac{2}{3}} \right )+\left ( 2^{6\times \frac{1}{6}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{(2^{2})-(3^{3})}{(3^{2})+(2^{1})}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{4-27}{9+2}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{-23}{11} \end{aligned}$
$\large \text {b.}\ \displaystyle \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}} \right )^{2}\times \left ( 16^{\frac{3}{8}} \right )}{\left ( 8^{\frac{7}{6}} \right )}$
Dengan menggunakan sifat eksponen
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}} \right )^{2}\times \left ( 16^{\frac{3}{8}} \right )}{\left ( 8^{\frac{7}{6}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}} \right )^{2}\times \left ( 2^{4} \right )^{\frac{3}{8}}}{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{7}{6}}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}\times 2} \right )\times \left ( 2^{4\times \frac{3}{8}} \right )}{\left ( 2^{3\times \frac{7}{6}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{2}} \right )\times \left ( 2^{\frac{3}{2}} \right )}{\left ( 2^{\frac{7}{2}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{2}+\frac{3}{2}} \right )}{\left ( 2^{\frac{7}{2}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{8}{2}} \right )}{\left ( 2^{\frac{7}{2}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \left ( 2^{\frac{8}{2}-\frac{7}{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{2} \end{aligned}$
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}} \right )^{2}\times \left ( 16^{\frac{3}{8}} \right )}{\left ( 8^{\frac{7}{6}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}} \right )^{2}\times \left ( 2^{4} \right )^{\frac{3}{8}}}{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{7}{6}}}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{4}\times 2} \right )\times \left ( 2^{4\times \frac{3}{8}} \right )}{\left ( 2^{3\times \frac{7}{6}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{2}} \right )\times \left ( 2^{\frac{3}{2}} \right )}{\left ( 2^{\frac{7}{2}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{5}{2}+\frac{3}{2}} \right )}{\left ( 2^{\frac{7}{2}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \frac{\left ( 2^{\frac{8}{2}} \right )}{\left ( 2^{\frac{7}{2}} \right )}\\ \\ &\Leftrightarrow \left ( 2^{\frac{8}{2}-\frac{7}{2}} \right )\\ \\ &\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \sqrt{2} \end{aligned}$
$\large \text {c.}\ \displaystyle \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{4}{3}}}{\left ( 81^{\frac{1}{3}} \right )^{5}}\right ]^{-\frac{1}{2}}$
Dengan menggunakan sifat eksponen
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
$\large a^{-1}=\frac{1}{a} \Rightarrow a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},a\neq 0$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{4}{3}}}{\left ( 81^{\frac{1}{3}} \right )^{5}}\right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}} \right )}{\left ( 81^{\frac{1}{3}\times 5} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{4}{6}} \right )}{\left ( 81^{\frac{5}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 3^{3} \right )^{\frac{4}{6}}}{\left ( 3^{4} \right )^{\frac{5}{3}}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 3^{3\times \frac{4}{6}} \right )}{\left ( 3^{4\times \frac{5}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 3^{\frac{4}{2}} \right )}{\left ( 3^{\frac{20}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}+\frac{4}{2}} \right )}{\left ( 3^{\frac{20}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{3^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{20}{3}}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{\frac{8}{3}-\frac{20}{3}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{-\frac{12}{3}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{\frac{12}{3}} \right ]^{\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{\frac{12}{3}\times \frac{1}{2}} \right ]\\ \\ &\Leftrightarrow 3^{\frac{12}{6}}\\ \\ &\Leftrightarrow 3^{2}\\ &\Leftrightarrow 9 \end{aligned}$
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
$\large a^{-1}=\frac{1}{a} \Rightarrow a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},a\neq 0$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{1}{2}} \right )^{\frac{4}{3}}}{\left ( 81^{\frac{1}{3}} \right )^{5}}\right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}} \right )}{\left ( 81^{\frac{1}{3}\times 5} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 27^{\frac{4}{6}} \right )}{\left ( 81^{\frac{5}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 3^{3} \right )^{\frac{4}{6}}}{\left ( 3^{4} \right )^{\frac{5}{3}}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 3^{3\times \frac{4}{6}} \right )}{\left ( 3^{4\times \frac{5}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}} \right )\times \left ( 3^{\frac{4}{2}} \right )}{\left ( 3^{\frac{20}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3^{\frac{2}{3}+\frac{4}{2}} \right )}{\left ( 3^{\frac{20}{3}} \right )} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{3^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{20}{3}}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{\frac{8}{3}-\frac{20}{3}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{-\frac{12}{3}} \right ]^{-\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{\frac{12}{3}} \right ]^{\frac{1}{2}}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 3^{\frac{12}{3}\times \frac{1}{2}} \right ]\\ \\ &\Leftrightarrow 3^{\frac{12}{6}}\\ \\ &\Leftrightarrow 3^{2}\\ &\Leftrightarrow 9 \end{aligned}$
$\large \text {d.}\ \displaystyle \left [ \frac{\left ( 5\sqrt{125} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{\sqrt{160}} \right ]^{2}$
Dengan menggunakan definisi eksponen pecahan, sifat eksponen
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
serta sifat bentuk akar
$\large \sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \left [ \frac{\left ( 5\sqrt{125} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{\sqrt{160}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{1}\cdot \sqrt{5^{3}} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{\sqrt{16\times 10}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{1}\cdot 5^{\frac{3}{2}} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{10}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{1+\frac{3}{2}} \right )^{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{10}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{\frac{5}{2}} \right )^{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{5\times 2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{\frac{5}{2}\times 3} \right )\times \sqrt{2}}{\sqrt{5}\times \sqrt{2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{5^{\frac{15}{2}}}{\sqrt{5}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{5^{\frac{15}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 5^{\frac{15}{2}-\frac{1}{2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 5^{\frac{14}{2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow 5^{\frac{14}{2}\times 2}\\ \\ &\Leftrightarrow 5^{14} \end{aligned}$
$\large \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{mn}$
$\large a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$\large \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
serta sifat bentuk akar
$\large \sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$
maka bila kita terapkan pada soal di atas menjadi:
$\large \begin {aligned} &\displaystyle \left [ \frac{\left ( 5\sqrt{125} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{\sqrt{160}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{1}\cdot \sqrt{5^{3}} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{\sqrt{16\times 10}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{1}\cdot 5^{\frac{3}{2}} \right )^{3}\times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{10}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{1+\frac{3}{2}} \right )^{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{10}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{\frac{5}{2}} \right )^{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{5\times 2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 5^{\frac{5}{2}\times 3} \right )\times \sqrt{2}}{\sqrt{5}\times \sqrt{2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{5^{\frac{15}{2}}}{\sqrt{5}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ \frac{5^{\frac{15}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 5^{\frac{15}{2}-\frac{1}{2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow \left [ 5^{\frac{14}{2}} \right ]^{2}\\ \\ &\Leftrightarrow 5^{\frac{14}{2}\times 2}\\ \\ &\Leftrightarrow 5^{14} \end{aligned}$
Itulah beberapa penjelasan singkat dari eksponen pecahan, contoh soal yang telah kita bahas hanyalah sebagian kecil materi eksponen pecahan, ada banyak soal yang lebih beragam lagi dan cara menyederhanakannya, silahkan kalian pelajari lebih dalam lagi dari sumber-sumber yang lain, agar lebih memahami secara dalam materi eksponen pecahan.
untuk lebih memahami materi tentang eksponen pecahan silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal eksponen pecahan, silahkan download juga pada link di bawah ini dalam bentuk pdf
Panduan Belajar Memahami Materi Eksponen Pecahan Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih jenis-jenis eksponen pecahan
- Pahami dan hafalkan sifat-sifat eksponen
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal eksponen pecahan
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal eksponen pecahan yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep eksponen pecahan.
