Matematika Peminatan Kelas 12 | Limit Fungsi Ketakhinggaan - 4Matematika adalah ilmu termurah, berbeda dengan fisika atau kimia, tidak memerlukan peralatan mahal. Semua yang dibutuhkan untuk matematika adalah pensil dan kertas.
1. Pendahuluan
Banyak permasalahan dalam kehidupan manusia yang terkait dengan limit fungsi ketakhinggaan aljabar dan trigonometri yang dapat kita pelajari, pada pertemuan awal BAB 2 tentang limit fungsi ketakhinggaan kita telah membuat hipotesis atau anggapan benar tentang pendekatan segi-n poligon apabila $n$ mendekati tak hingga $\infty$ maka kita beranggapan segi-n tersebut adalah lingkaran.
Untuk lebih jelasnya kita tuliskan ulang asumsinya
Untuk lebih jelasnya kita tuliskan ulang asumsinya
$\text {untuk nilai n}\to \infty \ \text {maka:}$
$\begin {aligned} \text {Luas segi-n}&\Rightarrow \text {Luas lingkaran}\\ \displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )&\Rightarrow \pi r^{2} \end{aligned}$
$\begin {aligned} \text {Luas segi-n}&\Rightarrow \text {Luas lingkaran}\\ \displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )&\Rightarrow \pi r^{2} \end{aligned}$
Kita akan membuktikan pernyataan di atas bahwa benar jika luas segi-n untuk $n$ mendekati tak hingga $\infty$, maka luas segi-n tersebut sama dengan luas lingkaran, apakah benar? Kita akan membuktikannya dengan pendekatan limit fungsi ketakhinggaan yang telah kita pelajari sebelumnya
$\displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}$
$\begin {aligned} \displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{\frac{1}{n}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{1}{2}n\ r^{2}\sin \left ( 2\pi\frac{1}{n} \right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a}\ r^{2}\sin \left ( 2\pi\cdot a \right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{2a}\ r^{2}\sin \left ( 2a\pi\right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 2a}{2a}\ r^{2}\cdot \pi \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 2a}{2a}\right )\times \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \pi r^{2} \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \frac{2}{2}\times \pi r^{2}&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \pi r^{2}&=\pi r^{2} \end{aligned}$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{n}$ maka $\displaystyle n=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $n$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{n}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} \displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{\frac{1}{n}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{1}{2}n\ r^{2}\sin \left ( 2\pi\frac{1}{n} \right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{a}\ r^{2}\sin \left ( 2\pi\cdot a \right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{2a}\ r^{2}\sin \left ( 2a\pi\right ) \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 2a}{2a}\ r^{2}\cdot \pi \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 2a}{2a}\right )\times \displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \pi r^{2} \right )&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \frac{2}{2}\times \pi r^{2}&\overset{?}{\rightarrow} \pi r^{2}\\ \pi r^{2}&=\pi r^{2} \end{aligned}$
Kita telah membuktikan bahwa $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )$ untuk luas segi-n dengan $n$ mendekati tak hingga adalah benar luas segi-n tersebut sama dengan luas lingkaran $\pi r^{2}$. Maka dengan mudah kita dapat menyimpulkan bahwa jika segi-n dengan $n$ tak hingga segi, maka segi-n tersebut adalah lingkaran.
Itu hanyalah sebagian permasalahan yang dapat diselesaikan dengan pendekatan limit fungsi ketakhinggaan, dapat membuktikan dengan presisi untuk luas sebuah lingkaran adalah $\pi r^{2}$, dan masih banyak permasalahan yang lainnya dengan pendekatan limit ketakhinggaan sehingga permasalahan tersebut dapat dipecahkan. Kali ini pembahasan kita mengenai aplikasi limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari, bagaimana pemanfaatan limit ketakhinggaan yang kita temukan dalam kehidupan manusia. Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal di bawah ini.
2. Contoh Soal dan Pembahasan
1. Untuk suatu hubungan inang-parasit tertentu, ditemukan bahwa kerapatan inang $\text {(jumlah inang per satuan waktu)}$ adalah $x$ dan jumlah parasit selama suatu periode waktu adalah $\displaystyle y=\frac{1200x}{15+30x}$. Jika kerapatan inang ditingkatkan tanpa batas, tentukan nilai dari jumlah parasit?
Kerapatan inang ditingkatkan tanpa batas, dapat diartikan sebagai $x\to\infty$. Dengan demikian, jumlah parasit dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{x\to\infty}$.
$\begin {aligned} \lim_{x\to\infty}y&=\lim_{x\to\infty}\frac{1200x}{15+30x}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{1200x}{30x}\\ &=\frac{1200}{30}\\ &=40 \end{aligned}$
Jadi jumlah parasit atau nilai yang akan didekati oleh $y$ adalah 40.
$\begin {aligned} \lim_{x\to\infty}y&=\lim_{x\to\infty}\frac{1200x}{15+30x}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{1200x}{30x}\\ &=\frac{1200}{30}\\ &=40 \end{aligned}$
Jadi jumlah parasit atau nilai yang akan didekati oleh $y$ adalah 40.
2. Jumlah spesies bunga di taman diperkirakan $t$ tahun dari sekarang akan menjadi $\displaystyle N=25.000+\frac{20.000}{\left ( t+2 \right )^{3}}$. Berapakah jumlah spesies bunga tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang dimasa depan?
Jumlah spesies bunga untuk jangka waktu yang sangat panjang, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah spesies bunga dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\begin {aligned} \lim_{t\to\infty}N&=\lim_{t\to\infty}\left ( 25.000+\frac{20.000}{(t+2)^{3}} \right )\\ &=\left ( 25.000+\frac{20.000}{(\infty+2)^{3}} \right )\\ &=\left ( 25.000+\frac{20.000}{(\infty)^{3}} \right )\\ &=\left ( 25.000+\frac{20.000}{\infty} \right )\\ &=\left ( 25.000+0 \right )\\ &=\left ( 25.000 \right )\\ &=25.000 \end{aligned}$
Jadi jumlah spesies bunga untuk jangka waktu yang sangat panjang adalah 25.000
$\begin {aligned} \lim_{t\to\infty}N&=\lim_{t\to\infty}\left ( 25.000+\frac{20.000}{(t+2)^{3}} \right )\\ &=\left ( 25.000+\frac{20.000}{(\infty+2)^{3}} \right )\\ &=\left ( 25.000+\frac{20.000}{(\infty)^{3}} \right )\\ &=\left ( 25.000+\frac{20.000}{\infty} \right )\\ &=\left ( 25.000+0 \right )\\ &=\left ( 25.000 \right )\\ &=25.000 \end{aligned}$
Jadi jumlah spesies bunga untuk jangka waktu yang sangat panjang adalah 25.000
3. Jumlah $n$ suku pertama suatu deret geometri berbentuk $S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-1}$ adalah $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$. Jika $-1< r< 1$, Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=\frac{a}{1-r}$
Jumlah $n$ suku pertama suatu deret geometri dirumuskan $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$. jika $-1< r< 1$ dapat diartikan sebagai deret konvergen, maka pangkat $n$ dari rasionya akan menuju nol ketika $n$ menuju tak terhingga $\infty$, sehingga kita akan memperoleh bentuk berikut.
$\begin {aligned} \lim_{n\to\infty}S_{n}&=\lim_{n\to\infty}S_{\infty}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a(1-r^{\infty})}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a(1-0)}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a(1)}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a}{1-r}&=\frac{a}{1-r}\\ \end{aligned}$
Jadi terbukti benar untuk $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=\frac{a}{1-r}$.
$\begin {aligned} \lim_{n\to\infty}S_{n}&=\lim_{n\to\infty}S_{\infty}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a(1-r^{\infty})}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a(1-0)}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a(1)}{1-r}&\overset{?}{=}\frac{a}{1-r}\\ &=\frac{a}{1-r}&=\frac{a}{1-r}\\ \end{aligned}$
Jadi terbukti benar untuk $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_{n}=\frac{a}{1-r}$.
4. Beberapa ilmuwan sedang meneliti suatu senyawa baru disebuah labolatorium. Senyawa ini hasil reaksi kimia dari beberapa senyawa. Setelah diteliti ternyata jumlah senyawa baru yang terbentuk mengikuti fungsi $\displaystyle f(t)=\frac{2t^{2}+3t+4}{(3+2t)(t-1)}$ dengan $f(t)$ menyatakan jumlah senyawa dalam miligram dan $t$ menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah senyawa yang terbentuk jika dalam waktu yang sangat lama atau $t\to\infty$?
jumlah senyawa yang terbentuk dalam waktu yang sangat lama, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah senyawa dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\begin {aligned} \lim_{t\to\infty}\displaystyle f(t)&=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}+3t+4}{(3+2t)(t-1)}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}+3t+4}{3t-3+2t^{2}-2t}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}+3t+4}{2t^{2}+t-3}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}}{2t^{2}}\\ &=\frac{2}{2}\\ &=1 \end{aligned}$
Jadi jumlah senyawa yang terbentuk dalam waktu yang sangat lama adalah 1 mg.
$\begin {aligned} \lim_{t\to\infty}\displaystyle f(t)&=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}+3t+4}{(3+2t)(t-1)}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}+3t+4}{3t-3+2t^{2}-2t}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}+3t+4}{2t^{2}+t-3}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{2t^{2}}{2t^{2}}\\ &=\frac{2}{2}\\ &=1 \end{aligned}$
Jadi jumlah senyawa yang terbentuk dalam waktu yang sangat lama adalah 1 mg.
5. Sebuah makanan kaleng tercemar oleh bakteri Clostridium Btulinum. Jika jumlah bakteri dalam makanan kaleng tersebut mengikuti fungsi $\displaystyle f(t)=\sqrt{3t^{2}+2t-1}-\sqrt{t^{2}-2t+1}$ dengan $f(t)$ menyatakan jumlah bakteri dalam puluhan ribu dan $t$ menyatakan waktu dalam menit. Tentukan jumlah bakteri tersebut dalam jangka yang sangat lama?
jumlah bakteri tersebut dalam jangka yang sangat lama, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah bakteri dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}f(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\sqrt{3t^{2}+2t-1}-\sqrt{t^{2}-2t+1}\\ &=\infty\ \ \ \text {karena }a> p\leftrightarrow 3> 1 \end{aligned}$
Jadi jumlah bakteri tersebut dalam jangka yang sangat lama adalah $\infty$.
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}f(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\sqrt{3t^{2}+2t-1}-\sqrt{t^{2}-2t+1}\\ &=\infty\ \ \ \text {karena }a> p\leftrightarrow 3> 1 \end{aligned}$
Jadi jumlah bakteri tersebut dalam jangka yang sangat lama adalah $\infty$.
6. Jumlah pertumbuhan penduduk suatu kota diperkirakan $t$ tahun dari sekarang akan menjadi $\displaystyle N(t)=35.000+t\sin \frac{40.000}{t}$. Tentukan pertumbuhan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan?
jumlah penduduk kota jangka waktu yang sangat lama di masa depan, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah penduduk dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}N(t)=\lim_{t\to\infty}\left ( 35.000+t\sin \frac{40.000}{t} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{t}$ maka $\displaystyle t=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $t$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{t}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}N(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\left ( 35.000+t\sin \frac{40.000}{t} \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 35.000+t\cdot \sin \left ( 40.000\cdot \frac{1}{t} \right ) \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 35.000+\frac{1}{a}\cdot \sin \left ( 40.000\cdot a \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}\left ( 35.000+\frac{\sin 40.000a}{a} \right )\\ &=\lim_{a\to0}35.000+\lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 40.000a}{a} \right )\\ &=35.000+40.000\\ &=75.000 \end{aligned}$
Jadi pertimbuhan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan adalah 75.000
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}N(t)=\lim_{t\to\infty}\left ( 35.000+t\sin \frac{40.000}{t} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{t}$ maka $\displaystyle t=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $t$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{t}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}N(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\left ( 35.000+t\sin \frac{40.000}{t} \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 35.000+t\cdot \sin \left ( 40.000\cdot \frac{1}{t} \right ) \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 35.000+\frac{1}{a}\cdot \sin \left ( 40.000\cdot a \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}\left ( 35.000+\frac{\sin 40.000a}{a} \right )\\ &=\lim_{a\to0}35.000+\lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 40.000a}{a} \right )\\ &=35.000+40.000\\ &=75.000 \end{aligned}$
Jadi pertimbuhan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan adalah 75.000
7. Jumlah spesies kupu-kupu disuatu padang diperkirakan $t$ tahun dari sekarang akan menjadi $\displaystyle N(t)=5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000t}}{\sin \frac{2.000}{4.000t}} \right )$. Berapakah jumlah spesies kupu-kupu dalam jangka waktu yang sangat lama?
jumlah spesies kupu-kupu dalam jangka waktu yang sangat lama, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah spesies kupu-kupu dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}N(t)=\lim_{t\to\infty}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000t}}{\sin \frac{2.000}{4.000t}} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{t}$ maka $\displaystyle t=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $t$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{t}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}N(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000t}}{\sin \frac{2.000}{4.000t}} \right ) \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000}\cdot \frac{1}{t}}{\sin \frac{2.000}{4.000}\cdot \frac{1}{t}} \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000a}{2.000}}{\sin \frac{2.000a}{4.000}} \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}(5.000)+\lim_{a\to0}\left ( \frac{\tan \frac{3.000a}{2.000}}{\sin \frac{2.000a}{4.000}} \right )\\ &=5.000+\frac{\frac{3.000}{2.000}}{\frac{2.000}{4.000}}\\ &=5.000+\frac{3.000\times 4.000}{2.000\times 2.000}\\ &=5.000+\frac{3.000\times 4.000}{4.000}\\ &=5.000+3.000\\ &=8.000 \end{aligned}$
Jadi jumlah spesies kupu-kupu dalam jangka waktu yang sangat lama adalah 8.000
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}N(t)=\lim_{t\to\infty}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000t}}{\sin \frac{2.000}{4.000t}} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{t}$ maka $\displaystyle t=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $t$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{t}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}N(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000t}}{\sin \frac{2.000}{4.000t}} \right ) \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000}{2.000}\cdot \frac{1}{t}}{\sin \frac{2.000}{4.000}\cdot \frac{1}{t}} \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}\left ( 5.000+\left ( \frac{\tan \frac{3.000a}{2.000}}{\sin \frac{2.000a}{4.000}} \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}(5.000)+\lim_{a\to0}\left ( \frac{\tan \frac{3.000a}{2.000}}{\sin \frac{2.000a}{4.000}} \right )\\ &=5.000+\frac{\frac{3.000}{2.000}}{\frac{2.000}{4.000}}\\ &=5.000+\frac{3.000\times 4.000}{2.000\times 2.000}\\ &=5.000+\frac{3.000\times 4.000}{4.000}\\ &=5.000+3.000\\ &=8.000 \end{aligned}$
Jadi jumlah spesies kupu-kupu dalam jangka waktu yang sangat lama adalah 8.000
8. Pertumbuhan suatu rusa dipadang rumput diperkirakan mengikuti fungsi $\displaystyle N(t)=2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2t} \right )$ dengan $N(t)$ adalah banyak rusa dalam periode waktu tertentu dan $t$ adalah waktu dalam tahun. Tentukan berapakah jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang?
jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah rusa dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}N(t)=\lim_{t\to\infty}\left ( 2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2t} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{t}$ maka $\displaystyle t=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $t$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{t}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}N(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\left ( 2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2t} \right ) \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2}\cdot \frac{1}{t} \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}\left ( 2.000+\cos (2.500a)\right )\\ &=\lim_{a\to0}2.000+\lim_{a\to0}(\cos 2.500a))\\ &=2.000+\cos 0\\ &=2.000+1\\ &=2.001 \end{aligned}$
Jadi jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang adalah 2.001
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}N(t)=\lim_{t\to\infty}\left ( 2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2t} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{t}$ maka $\displaystyle t=\frac {1}{a}$. Sekarang kita substitusi, karena limit $t$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{t}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada limit, menjadi
$\begin {aligned} &\lim_{t\to\infty}N(t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\left ( 2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2t} \right ) \right )\\ &=\lim_{\frac{1}{t}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 2.000+\cos \left ( \frac{5.000}{2}\cdot \frac{1}{t} \right ) \right )\\ &=\lim_{a\to0}\left ( 2.000+\cos (2.500a)\right )\\ &=\lim_{a\to0}2.000+\lim_{a\to0}(\cos 2.500a))\\ &=2.000+\cos 0\\ &=2.000+1\\ &=2.001 \end{aligned}$
Jadi jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang adalah 2.001
9. Dalam suatu rantai makanan rusa dan harimau disuatu padang diperkirakan mengikuti fungsi $\displaystyle N(x)=\frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1}$ dengan $N(x)$ adalah banyak rusa yang dimakan harimau dalam periode waktu tertentu dan $x$ lamanya waktu dalam tahun. Tentukan jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang di masa depan?
jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang, dapat diartikan sebagai $t\to\infty$. Dengan demikian, jumlah rusa dapat dipandang sebagai $\displaystyle \lim_{t\to\infty}$.
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}N(x)=\lim_{x\to\infty}\left ( \frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1} \right )$
Kita akan menggunakan teorema apit untuk menentukan nilai dari limit fungsi di atas.
$\small \begin {aligned} -1&< \cos x&&< 1\\ \\ \frac{-(x^{2}-3)}{x^{3}+1}&< \frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1}&&< \frac{x^{2}-3}{x^{3}+1} \end {aligned}$
Perhatikan juga bahwa bila kita berikan $\displaystyle \lim_{x\to\infty}$ masing-masing ruas maka kita akan memperoleh
$\begin {aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{-(x^{2}-3)}{x^{3}+1}\\ &=-\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{x^{3}}\\ &=-\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\\ &=0 \end {aligned}$
$\begin {aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-3)}{x^{3}+1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{x^{3}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\\ &=0 \end {aligned}$
Maka menurut teorema apit nilai limit yang berada di tengah-tengah atau yang di apit juga memiliki nilai yang sama yaitu $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1}=0$. Jadi jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang adalah 0 atau rusa akan punah.
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}N(x)=\lim_{x\to\infty}\left ( \frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1} \right )$
Kita akan menggunakan teorema apit untuk menentukan nilai dari limit fungsi di atas.
$\small \begin {aligned} -1&< \cos x&&< 1\\ \\ \frac{-(x^{2}-3)}{x^{3}+1}&< \frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1}&&< \frac{x^{2}-3}{x^{3}+1} \end {aligned}$
Perhatikan juga bahwa bila kita berikan $\displaystyle \lim_{x\to\infty}$ masing-masing ruas maka kita akan memperoleh
$\begin {aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{-(x^{2}-3)}{x^{3}+1}\\ &=-\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{x^{3}}\\ &=-\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\\ &=0 \end {aligned}$
$\begin {aligned} &\lim_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-3)}{x^{3}+1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{x^{3}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\\ &=0 \end {aligned}$
Maka menurut teorema apit nilai limit yang berada di tengah-tengah atau yang di apit juga memiliki nilai yang sama yaitu $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-3)\cos x}{x^{3}+1}=0$. Jadi jumlah rusa pada waktu yang sangat panjang adalah 0 atau rusa akan punah.
10. Suatu deret geometri memberikan $\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right ).\ .\ .\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )$. Buktikan rumus yang tepat dan hasil dari deret geometri tersebut dengan konsep limit ketakhinggaan?
Kita cari pola dari jumlah $n$ suku pertama suatu deret geometri di atas dengan memanfaatkan rumus pemfaktoran $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$\small \begin {aligned} &\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right ).\ .\ .\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )\\ \\ =&\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\\ &\left ( 1-\frac{1}{4} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right ).\ .\ .\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\\ \\ =&\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{3}{2} \right )\left ( \frac{2}{3} \right )\left ( \frac{4}{3} \right )\ .\ .\ .\left ( \frac{n-1}{n} \right )\left ( \frac{n+1}{n} \right )\\ \\ =&\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{n+1}{n} \right )\\ \\ =&\frac{n+1}{2n} \end {aligned}$
Kita mendapatkan pola terakhirnya adalah $\displaystyle \frac{n+1}{2n}$ kemudian untuk $n$ mendekati tak hingga, maka
$\begin {aligned} \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{2n} \right )&=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n}{2n} \right )\\ &=\frac{1}{2} \end {aligned}$
Jadi rumus yang tepat untuk deret geometri tersebut adalah $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{2n} \right )=\frac {1}{2}$
$\small \begin {aligned} &\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right ).\ .\ .\left ( 1-\frac{1}{n^{2}} \right )\\ \\ =&\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\left ( 1+\frac{1}{2} \right )\left ( 1-\frac{1}{3} \right )\left ( 1+\frac{1}{3} \right )\\ &\left ( 1-\frac{1}{4} \right )\left ( 1+\frac{1}{4} \right ).\ .\ .\left ( 1-\frac{1}{n} \right )\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\\ \\ =&\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{3}{2} \right )\left ( \frac{2}{3} \right )\left ( \frac{4}{3} \right )\ .\ .\ .\left ( \frac{n-1}{n} \right )\left ( \frac{n+1}{n} \right )\\ \\ =&\left ( \frac{1}{2} \right )\left ( \frac{n+1}{n} \right )\\ \\ =&\frac{n+1}{2n} \end {aligned}$
Kita mendapatkan pola terakhirnya adalah $\displaystyle \frac{n+1}{2n}$ kemudian untuk $n$ mendekati tak hingga, maka
$\begin {aligned} \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{2n} \right )&=\lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n}{2n} \right )\\ &=\frac{1}{2} \end {aligned}$
Jadi rumus yang tepat untuk deret geometri tersebut adalah $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{n+1}{2n} \right )=\frac {1}{2}$
3. Penutupan
Itulah beberapa soal berikut pembahasannya dari limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari. Teruslah berlatih mencoba menemukan materi dan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari dari sumber-sumber yang lain.
Petunjuk singkat dalam berlatih limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan soal limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Ketakhinggaan-4 Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami dan hafalkan teorema-teorema limit fungsi ketakhinggaan aljabar dan trigonometri
- Pahami dan hafalkan pemisalan dan nilai fungsi yang setara dari trigonometri
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal limit fungsi ketakhinggaan-4
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal limit fungsi ketakhinggaan-4 yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi ketakhinggaan-4 atau penerapan limit fungsi ketakhinggaan dalam kehidupan sehari-hari.
