Matematika Peminatan Kelas 10 | Pertidaksamaan EksponenJika orang-orang tidak percaya bahwa matematika itu sederhana, hanya karna mereka tidak menyadari betapa rumit hidup ini.
1. Pendahuluan
Pada pembahasan yang lalu tentang persamaan eksponen masih ingatkah dengan permisalan segelas kopi kira-kira mengandung 256 mg kafein, jika kita meminum segelas kopi maka kafein akan diserap oleh tubuh dalam darah dan akhirnya dimetabolisme oleh tubuh kita. Setiap 5 jam, banyak kafein dalam darah berkurang 50%. Jika kita modelkan dengan persamaan matematikanya, banyak kafein yang tersisa $(y)$ setelah $x$ jam yaitu:
\[y=256\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ \ \ \ \text {...(1)}\]
Sekarang kita ganti pertanyaannya Berapa lamakah kafein dalam darah tersisa kurang dari 1 mg? Pertanyaan ini bisa ditampilkan secara matematis sebagai tentukanlah $x$ jika $\displaystyle 256\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}< 1$ mg?
Kapankah kafein dalam darah tersisa kurang dari 1 mg? Kita bisa membuatkan model matematikanya dengan cara mengganti simbol sama dengan $=$ dengan simbol kurang dari $< $, bila kita buat modelnya menjadi
\[y< 256\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\ \ \ \ \text {...(2)}\]
Pada nomor $\text {...(1)}$ kita sebut sebagai bentuk persamaan eksponen dan pada nomor $\text {...(2)}$ kita sebut sebagai pertidaksamaan eksponen. Perbedaan mendasar dari persamaan dan pertidaksamaan eksponen adalah pada bagian penghubung ruas kanan dan kiri, bila pertanyaannya adalah persamaan, maka penghubungnya adalah tanda $=$ dan bila pertidaksamaan maka tanda penghubungnya bisa jadi $(< , \leq , > ,$ atau $\geq )$ tergantung bagaimana bentuk pertidaksamaannya. Yang akan kita bahas pada pertemuan kali ini yaitu pertidaksamaan eksponen, agar bisa menyelesaikan pertidaksamaan $\text {...(2)}$ di atas tentu kita perlu memahami dengan baik cara menyelesaikan suatu pertidaksamaan eksponen. Mari kita awali pemahaman konsepnya dengan melihat jenis-jenis pertidaksamaan dalam eksponen di bawah ini.
2. Bentuk Pertidaksamaan Eksponen
a. Pertidaksamaan Eksponen dengan $a> 1$
Jika $a> 1$, maka
$\begin {aligned} &a^{f(x)}> a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)> g(x)\\ &a^{f(x)}\geq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\geq g(x)\\ &a^{f(x)}< a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)< g(x)\\ &a^{f(x)}\leq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\leq g(x) \end{aligned}$
b. Pertidaksamaan Eksponen dengan $0< a< 1$$\begin {aligned} &a^{f(x)}> a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)> g(x)\\ &a^{f(x)}\geq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\geq g(x)\\ &a^{f(x)}< a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)< g(x)\\ &a^{f(x)}\leq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\leq g(x) \end{aligned}$
Jika $0< a< 1$, maka
$\begin {aligned} &a^{f(x)}> a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)< g(x)\\ &a^{f(x)}\geq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\leq g(x)\\ &a^{f(x)}< a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)> g(x)\\ &a^{f(x)}\leq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\geq g(x) \end{aligned}$
c. Pertidaksamaan Eksponen dengan $p\cdot a^{2x}+q\cdot a^{x}+r> 0$$\begin {aligned} &a^{f(x)}> a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)< g(x)\\ &a^{f(x)}\geq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\leq g(x)\\ &a^{f(x)}< a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)> g(x)\\ &a^{f(x)}\leq a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)\geq g(x) \end{aligned}$
Kita misalkan terlebih dahulu menjadi persamaan kuadrat sehingga $p\cdot a^{2x}+q\cdot a^{x}+r=0$, Langkah penyelesaiannya perhatikan $\left ( a^{x} \right )^{2}$ sehingga jika kita memisalkan $a^{x}=u> 0$ maka $\left ( a^{x} \right )^{2}=u^{2}$ kita substitusikan ke persamaan semula $p\cdot \left ( a^{x} \right )^{2}+q\cdot (a^{x})+r=0$ memberikan $p\cdot u^{2}+q\cdot u+r=0$, yaitu persamaan kuadrat dalam variabel $u$ yang bisa kita faktorkan untuk memperoleh nilai $u$. Perhatikan juga bahwa nilai $u$ haruslah positif. Langkahnya yaitu:
Misalnya kedua harga nol adalah $u_{1}$ dan $u_{2}$ dengan $u_{1}< u_{2}$
1) $p.u^{2}+q.u+r> 0\rightarrow u< u_{1}$ atau $u> u_{2}$
2) $p.u^{2}+q.u+r\geq 0\rightarrow u\leq u_{1}$ atau $u\geq u_{2}$
3) $p.u^{2}+q.u+r< 0\rightarrow u_{1}< u< u_{2}$
4) $p.u^{2}+q.u+r\leq 0\rightarrow u_{1}\leq u\leq u_{2}$
3. Garis Bilangan Pertidaksamaan Eksponen
Menentukan solusi dari pertidaksamaan eksponen selain dengan bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen seperti di atas, juga diperlukan sebuah gambaran penyebaran himpunan penyelesaian pada garis bilangan, untuk mempermudah kita dalam mencari solusi dari pertidaksamaan eksponen, dengan bantuan garis bilangan akan terlihat prakiraan sebaran bilangan yang akan dijadikan himpunan penyelesaian baik bentuk tunggal ataupun jamak. Bila berbentuk solusi jamak, maka yang diperlukan untuk mencari himpunan penyelesaian adalah dengan mencari irisan dari sebaran penyelesaian, garis bilangan yang akan kita bicarakan disini adalah garis bilangan Real, jadi semua anggota yang termuat dalam garis bilangan adalah anggota bilangan real atau $\left \{ x\mid x\in R \right \}$. Ada beberapa yang perlu diperhatikan dalam menentukan penyelesaian dengan garis bilangan pertidaksamaan eksponen, yaitu:
a. Garis bilangan $x> a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x> 0$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x> 0 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kanan menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $0$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau hanya $x> 0$, artinya untuk bilangan $0$ sendiri bukan termasuk anggota himpunan penyelesaian.
b. Garis bilangan $x\geq a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x\geq 1$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x\geq 1 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kanan menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $1$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\geq 1$, artinya untuk bilangan $1$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian.
c. Garis bilangan $x< a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x< -1$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x> -1 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kiri menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, dan pada titik $-1$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau hanya $x -1$, artinya untuk bilangan $-1$ sendiri bukan termasuk anggota himpunan penyelesaian.
d. Garis bilangan $x\leq a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x\leq -2$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x\leq -2 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kiri menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, dan pada titik $-2$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\leq -2$, artinya untuk bilangan $-2$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian.
e. Garis bilangan $x< x_{1}\ \cup \ x> x_{2}$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x< -3$ atau $x\geq 1$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x< -3\ \ \text {atau} \ \ x\geq 1 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arah ke kiri untuk $-3$ menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, arah ke kanan untuk $1$ menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $-3$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau $x< -3$, artinya untuk bilangan $-3$ sendiri tidak termasuk anggota himpunan penyelesaian, serta pada titik $1$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\geq 1$, artinya untuk bilangan $1$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian. Maka ada dua kemungkinan yang bisa dijadikan himpunan penyelesaian yaitu $x< -3$ atau $x\geq 1$.
f. Garis bilangan $x_{1}< x< x_{2}$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $-4\leq x< 3$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid -4\leq x< 3 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arah ke kiri untuk $3$ menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, arah ke kanan untuk $-4$ menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $-4$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\geq -4\Leftrightarrow -4\leq x$, artinya untuk bilangan $-4$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian, serta pada titik $3$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau $x< 3$, artinya untuk bilangan $3$ sendiri tidak termasuk anggota himpunan penyelesaian. Maka himpunan penyelesaian terletak diantara bilangan $-4$ dan $3$ atau $-4\leq x< 3$.
Selanjutnya tinggal kombinasi dari tiap-tiap gambar garis bilangan di atas untuk menentukan himpunan penyelesaian yang umumnya muncul pada soal. Agar lebih mempermudah kita dalam memahami konsep pertidaksamaan eksponen, mari kita pelajari dan simak contoh soal di bawah ini
5. Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan nilai $x$ yang memenui pertidaksamaan eksponen berikuta. $5^{3x-2}\leq 5^{4}$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu, bilangan pokok eksponennya adalah $5$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaiannya
$\begin{aligned} 5^{3x-2}\leq 5^{4}\Rightarrow \ 3x-2&\leq 4\\ 3x&\leq 4+2\\ 3x&\leq 6\\ x&\leq \frac{6}{3}\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
Bila kita gambarkan pada garis bilangan maka
Jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\left \{ x\leq 2 \right \}$.
$\begin{aligned} 5^{3x-2}\leq 5^{4}\Rightarrow \ 3x-2&\leq 4\\ 3x&\leq 4+2\\ 3x&\leq 6\\ x&\leq \frac{6}{3}\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
Bila kita gambarkan pada garis bilangan maka
b. $27^{2x-3}>243$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu dengan mengubah bentuk pertidaksamaannya menjadi
$\begin{aligned} 27^{2x-3}&>243\\ \left ( 3^{3} \right )^{2x-3}&>3^{5}\\ 3^{6x-9}&>3^{5} \end {aligned}$
Terlihat bahwa bilangan pokok eksponennya adalah $3$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaian selanjutnya
$\begin{aligned} 3^{6x-9}>3^{5}\Leftrightarrow 6x-9&>5\\ 6x&>5+9\\ 6x&>14\\ x&>\frac{14}{6} \end {aligned}$
Bila kita gambarkan pada garis bilangan maka
Jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\displaystyle x> \frac{14}{6}$.
$\begin{aligned} 27^{2x-3}&>243\\ \left ( 3^{3} \right )^{2x-3}&>3^{5}\\ 3^{6x-9}&>3^{5} \end {aligned}$
Terlihat bahwa bilangan pokok eksponennya adalah $3$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaian selanjutnya
$\begin{aligned} 3^{6x-9}>3^{5}\Leftrightarrow 6x-9&>5\\ 6x&>5+9\\ 6x&>14\\ x&>\frac{14}{6} \end {aligned}$
Bila kita gambarkan pada garis bilangan maka
c. $\displaystyle \left ( \frac{1}{2} \right )^{3x+7}< \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu, bilangan pokok eksponennya adalah $\frac {1}{2}$ maka bentuk $0< a< 1$. Sehingga penyelesaiannya
$\begin {aligned} \left ( \frac{1}{2} \right )^{3x+7}< \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}\Leftrightarrow 3x+7&> x-1\\ 3x-x&> -1-7\\ 2x&> -8\\ x&> \frac{-8}{2}\\ x&> -4 \end{aligned}$
Bila kita gambarkan pada garis bilangan maka
Jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $x> -4$.
$\begin {aligned} \left ( \frac{1}{2} \right )^{3x+7}< \left ( \frac{1}{2} \right )^{x-1}\Leftrightarrow 3x+7&> x-1\\ 3x-x&> -1-7\\ 2x&> -8\\ x&> \frac{-8}{2}\\ x&> -4 \end{aligned}$
Bila kita gambarkan pada garis bilangan maka
d. $3^{x^{2}-2x-5}< \frac{1}{9}$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu dengan mengubah bentuk pertidaksamaannya menjadi
$\begin {aligned} 3^{x^{2}-2x-5}&< \frac{1}{9}\\ 3^{x^{2}-2x-5}&< \frac{1}{3^{2}}\\ 3^{x^{2}-2x-5}&< 3^{-2} \end{aligned}$
Terlihat bahwa bilangan pokok eksponennya adalah $3$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaian selanjutnya
$\begin {aligned} 3^{x^{2}-2x-5}&< 3^{-2}\\ x^{2}-2x-5&< -2\\ x^{2}-2x-5+2&< 0\\ x^{2}-2x-3&< 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $x^{2}-2x-3< 0\Rightarrow x^{2}-2x-3= 0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} x^{2}-2x-3&=0\\ (x-3)(x+1)&=0\\ x-3=0\ \text {atau}&\ x+1=0\\ x_{1}=3\ \text {atau}\ x_{2}&=-1 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=3$ atau $x_{2}=-1$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $x^{2}-2x-3< 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-1$, antara $-1$ dan $3$, dan lebih dari $3$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $x^{2}-2x-3< 0$
1. untuk $x< -1$ ambil bilangan $-2$
2. untuk $-1< x< 3$ ambil bilangan $0$
3. untuk $x> 3$ ambil bilangan $4$
Pada tabel untuk $x< -1$ bernilai $\text {(+)}$, untuk $-1< x< 3$ bernilai $\text {(-)}$, dan untuk $x> 3$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(-)}$ karena pertidaksamaan terakhir memberikan $x^{2}-2x-3< 0$ kurang dari. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi. Jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\left \{ -1< x< 3 \right \}$.
$\begin {aligned} 3^{x^{2}-2x-5}&< \frac{1}{9}\\ 3^{x^{2}-2x-5}&< \frac{1}{3^{2}}\\ 3^{x^{2}-2x-5}&< 3^{-2} \end{aligned}$
Terlihat bahwa bilangan pokok eksponennya adalah $3$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaian selanjutnya
$\begin {aligned} 3^{x^{2}-2x-5}&< 3^{-2}\\ x^{2}-2x-5&< -2\\ x^{2}-2x-5+2&< 0\\ x^{2}-2x-3&< 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $x^{2}-2x-3< 0\Rightarrow x^{2}-2x-3= 0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} x^{2}-2x-3&=0\\ (x-3)(x+1)&=0\\ x-3=0\ \text {atau}&\ x+1=0\\ x_{1}=3\ \text {atau}\ x_{2}&=-1 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=3$ atau $x_{2}=-1$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $x^{2}-2x-3< 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-1$, antara $-1$ dan $3$, dan lebih dari $3$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $x^{2}-2x-3< 0$
1. untuk $x< -1$ ambil bilangan $-2$
| $x^{2}-2x-3$ | Ket |
|---|---|
| $(-2)^{2}-2(-2)-3=5$ | $\text {(+)}$ |
| $x^{2}-2x-3$ | Ket |
|---|---|
| $(0)^{2}-2(0)-3=-3$ | $\text {(-)}$ |
| $x^{2}-2x-3$ | Ket |
|---|---|
| $(4)^{2}-2(4)-3=5$ | $\text {(+)}$ |
e. $5^{x+5}\leq 5^{x^{2}+6x+11}$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu, bilangan pokok eksponennya adalah $5$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaiannya
$\begin {aligned} 5^{x+5}&\leq 5^{x^{2}+6x+11}\\ x+5&\leq x^{2}+6x+11\\ 0&\leq x^{2}+6x-x+11-5\\ 0&\leq x^{2}+5x+6 \end{aligned}$
Bentuk $0\leq x^{2}+5x+6$ setara dengan $x^{2}+5x+6\geq 0$. Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6\geq 0\Rightarrow x^{2}+5x+6= 0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} x^{2}+5x+6&=0\\ (x+2)(x+3)&=0\\ x+2=0\ \text {atau}&\ x+3=0\\ x_{1}=-2\ \text {atau}\ x_{2}&=-3 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=-2$ atau $x_{2}=-3$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $x^{2}+5x+6\geq 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-3$, antara $-3$ dan $-2$, dan lebih dari $-2$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $x^{2}+5x+6> 0$
1. untuk $x< -3$ ambil bilangan $-4$
2. untuk $-3< x< -2$ ambil bilangan $-2,5$
3. untuk $x> -3$ ambil bilangan $0$
Pada tabel untuk $x< -3$ bernilai $\text {(+)}$, untuk $-3< x< -2$ bernilai $\text {(-)}$, dan untuk $x> -2$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(+)}$ karena pertidaksamaan terakhir memberikan $x^{2}+5x+6> 0$ lebih dari. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi. Jadi nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $x\leq -3\ \text {atau}\ x\geq -2$.
$\begin {aligned} 5^{x+5}&\leq 5^{x^{2}+6x+11}\\ x+5&\leq x^{2}+6x+11\\ 0&\leq x^{2}+6x-x+11-5\\ 0&\leq x^{2}+5x+6 \end{aligned}$
Bentuk $0\leq x^{2}+5x+6$ setara dengan $x^{2}+5x+6\geq 0$. Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $x^{2}+5x+6\geq 0\Rightarrow x^{2}+5x+6= 0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} x^{2}+5x+6&=0\\ (x+2)(x+3)&=0\\ x+2=0\ \text {atau}&\ x+3=0\\ x_{1}=-2\ \text {atau}\ x_{2}&=-3 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=-2$ atau $x_{2}=-3$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $x^{2}+5x+6\geq 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-3$, antara $-3$ dan $-2$, dan lebih dari $-2$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $x^{2}+5x+6> 0$
1. untuk $x< -3$ ambil bilangan $-4$
| $x^{2}+5x+6$ | Ket |
|---|---|
| $(-4)^{2}+5(-4)+6=2$ | $\text {(+)}$ |
| $x^{2}+5x+6$ | Ket |
|---|---|
| $\small (-2,5)^{2}+5(-2,5)+6=-0,25$ | $\text {(-)}$ |
| $x^{2}+5x+6$ | Ket |
|---|---|
| $(0)^{2}+5(0)+6=6$ | $\text {(+)}$ |
2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen berikut
a. $\displaystyle \left ( \frac{1}{4} \right )^{x^{2}-2x+1}<\left ( \frac{1}{4} \right )^{x-1}$
b. $\displaystyle 9^{2x-4}\leq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}$
c. $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125\geq 0$
d. $3^{2x}-6\cdot 3^{x}< 27$
e. $3^{2x+1}+9-28\cdot 3^{x}> 0$
a. $\displaystyle \left ( \frac{1}{4} \right )^{x^{2}-2x+1}<\left ( \frac{1}{4} \right )^{x-1}$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu, bilangan pokok eksponennya adalah $\frac {1}{4}$ maka bentuk $0< a< 1$. Sehingga penyelesaiannya
$\begin {aligned} \left ( \frac{1}{4} \right )^{x^{2}-2x+2}&< \left ( \frac{1}{4} \right )^{2x-1}\\ x^{2}-2x+2&> 2x-1\\ x^{2}-2x-2x+2+1&> 0\\ x^{2}-4x+3&> 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $x^{2}-4x+3> 0\Rightarrow x^{2}-4x+3= 0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} x^{2}-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0\\ x-1=0\ \text {atau}&\ x-3=0\\ x_{1}=1\ \text {atau}\ x_{2}&=3 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=1$ atau $x_{2}=3$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $x^{2}-4x+3> 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $1$, antara $1$ dan $3$, dan lebih dari $3$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $x^{2}-4x+3> 0$
1. untuk $x< 1$ ambil bilangan $0$
2. untuk $1< x< 3$ ambil bilangan $2$
3. untuk $x> 3$ ambil bilangan $4$
Pada tabel untuk $x< 1$ bernilai $\text {(+)}$, untuk $1< x< 3$ bernilai $\text {(-)}$, dan untuk $x> 3$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(+)}$ karena pertidaksamaan terakhir memberikan $x^{2}-4x+3> 0$ lebih dari. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi himpunan penyelesaian. Jadi Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\text {HP: }\left \{ \right. x\mid x< 1$ atau $x> 3\left. \right \}$.
$\begin {aligned} \left ( \frac{1}{4} \right )^{x^{2}-2x+2}&< \left ( \frac{1}{4} \right )^{2x-1}\\ x^{2}-2x+2&> 2x-1\\ x^{2}-2x-2x+2+1&> 0\\ x^{2}-4x+3&> 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $x^{2}-4x+3> 0\Rightarrow x^{2}-4x+3= 0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} x^{2}-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0\\ x-1=0\ \text {atau}&\ x-3=0\\ x_{1}=1\ \text {atau}\ x_{2}&=3 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=1$ atau $x_{2}=3$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $x^{2}-4x+3> 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $1$, antara $1$ dan $3$, dan lebih dari $3$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $x^{2}-4x+3> 0$
1. untuk $x< 1$ ambil bilangan $0$
| $x^{2}-4x+3$ | Ket |
|---|---|
| $(0)^{2}-4(0)+3=3$ | $\text {(+)}$ |
| $x^{2}-4x+3$ | Ket |
|---|---|
| $(2)^{2}-4(2)+3=-1$ | $\text {(-)}$ |
| $x^{2}-4x+3$ | Ket |
|---|---|
| $(4)^{2}-4(4)+3=3$ | $\text {(+)}$ |
b. $\displaystyle 9^{2x-4}\leq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}$
Langkah pertama yaitu kita cari bentuk pertidaksamaan eksponen dulu dengan mengubah bentuk pertidaksamaannya menjadi
$\begin {aligned} 9^{2x-4}&\leq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}\\ \left ( 3^{2} \right )^{2x-4}&\leq \left ( \frac{1}{3^{3}} \right )^{x^{2}-4}\\ 3^{4x-8}&\leq \left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}\\ 3^{4x-8}&\leq 3^{-3x^{2}+12} \end{aligned}$
Terlihat bahwa bilangan pokok eksponennya adalah $3$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaian selanjutnya
$\begin {aligned} 3^{4x-8}&\leq 3^{-3x^{2}+12}\\ 4x-8&\leq -3x^{2}+12\\ 3x^{2}+4x-8-12&\leq 0\\ 3x^{2}+4x-20&\leq 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $3x^{2}+4x-20\leq 0\Rightarrow 3x^{2}+4x-20=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} 3x^{2}+4x-20&=0\\ (3x+10)(x-2)&=0\\ 3x+10=0\ \text {atau}\ x-&2=0\\ 3x=-10\ \text {atau}\ x-&2=0\\ x_{1}=-\frac{10}{3}\ \text {atau}\ x_{2}&=2 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=-\frac{10}{3}$ atau $x_{2}=2$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $3x^{2}+4x-20\leq 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-\frac{10}{3}$, antara $-\frac{10}{3}$ dan $2$, dan lebih dari $2$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $3x^{2}+4x-20\leq 0$
1. untuk $x< -\frac{10}{3}$ ambil bilangan $-4$
2. untuk $-\frac{10}{3}< x< 2$ ambil bilangan $0$
3. untuk $x> 2$ ambil bilangan $3$
Pada tabel untuk $x< -\frac{10}{3}$ bernilai $\text {(+)}$, untuk $-\frac{10}{3}< x< 2$ bernilai $\text {(-)}$, dan untuk $x> 2$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(-)}$ karena pertidaksamaan terakhir memberikan $3x^{2}+4x-20\leq 0$ kurang dari atau sama dengan. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi himpunan penyelesaian. Jadi Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid -\frac{10}{3}\leq x\leq 2 \right \}$.
$\begin {aligned} 9^{2x-4}&\leq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}\\ \left ( 3^{2} \right )^{2x-4}&\leq \left ( \frac{1}{3^{3}} \right )^{x^{2}-4}\\ 3^{4x-8}&\leq \left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}\\ 3^{4x-8}&\leq 3^{-3x^{2}+12} \end{aligned}$
Terlihat bahwa bilangan pokok eksponennya adalah $3$ maka bentuk $a> 1$. Sehingga penyelesaian selanjutnya
$\begin {aligned} 3^{4x-8}&\leq 3^{-3x^{2}+12}\\ 4x-8&\leq -3x^{2}+12\\ 3x^{2}+4x-8-12&\leq 0\\ 3x^{2}+4x-20&\leq 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $3x^{2}+4x-20\leq 0\Rightarrow 3x^{2}+4x-20=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} 3x^{2}+4x-20&=0\\ (3x+10)(x-2)&=0\\ 3x+10=0\ \text {atau}\ x-&2=0\\ 3x=-10\ \text {atau}\ x-&2=0\\ x_{1}=-\frac{10}{3}\ \text {atau}\ x_{2}&=2 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_{1}=-\frac{10}{3}$ atau $x_{2}=2$, langkah selanjutnya kita kembalikan ke pemisalan pertidaksamaan semula bahwa $3x^{2}+4x-20\leq 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-\frac{10}{3}$, antara $-\frac{10}{3}$ dan $2$, dan lebih dari $2$, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $3x^{2}+4x-20\leq 0$
1. untuk $x< -\frac{10}{3}$ ambil bilangan $-4$
| $3x^{2}+4x-20$ | Ket |
|---|---|
| $3(-4)^{2}+4(-4)-20=12$ | $\text {(+)}$ |
| $3x^{2}+4x-20$ | Ket |
|---|---|
| $3(0)^{2}+4(0)-20=-20$ | $\text {(-)}$ |
| $3x^{2}+4x-20$ | Ket |
|---|---|
| $3(4)^{2}+4(3)-20=19$ | $\text {(+)}$ |
c. $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125\geq 0$
Kita misalkan terlebih dahulu menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan $u=5^{x}> 0$ sehingga pertidaksamaannya menjadi
$\begin {aligned} 5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125&\geq 0\\ \left ( 5^{x} \right )^{2}-6\cdot 5^{x}\cdot 5^{1}+125&\geq 0\\ u^{2}-6\cdot 5u+125&\geq 0\\ u^{2}-30u+125&\geq 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $\small u^{2}-30u+125\geq 0\Rightarrow u^{2}-30u+125=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} u^{2}-30u+125&=0\\ (u-5)(u-25)&=0\\ u-5=0\ \text {atau}\ u-&25=0\\ u_{1}=5\ \text {atau}\ u_{2}&=25 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $u_{1}=5$ atau $u_{2}=25$, karena di awal kita memisalkan dengan $u=5^{x}> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk pemisalan semula
$\begin {aligned} u_{1}=5\ &\text {atau}\ u_{2}=25\\ 5^{x}=5\ &\text {atau}\ 5^{x}=25\\ 5^{x}=5^{1}\ &\text {atau}\ 5^{x}=5^{2}\\ x=1\ &\text {atau}\ x=2 \end{aligned}$
perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125\geq 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $1$, antara $1$ dan $2$, dan lebih dari $2$
1. untuk $x< 1$ ambil bilangan $0$
2. untuk $1< x< 2$ ambil bilangan $1,5$
3. untuk $x> 2$ ambil bilangan $3$
Pada tabel untuk $x< 1{3}$ bernilai $\text {(+)}$, untuk $1< x< 2$ bernilai $\text {(-)}$, dan untuk $x> 2$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(+)}$ karena pertidaksamaan memberikan $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125\geq 0$ lebih dari atau sama dengan. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi himpunan penyelesaian. Jadi Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\text {HP: }\left \{ \right. x\mid x\leq 1$ atau $x\geq 2\left. \right \}$.
$\begin {aligned} 5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125&\geq 0\\ \left ( 5^{x} \right )^{2}-6\cdot 5^{x}\cdot 5^{1}+125&\geq 0\\ u^{2}-6\cdot 5u+125&\geq 0\\ u^{2}-30u+125&\geq 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $\small u^{2}-30u+125\geq 0\Rightarrow u^{2}-30u+125=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} u^{2}-30u+125&=0\\ (u-5)(u-25)&=0\\ u-5=0\ \text {atau}\ u-&25=0\\ u_{1}=5\ \text {atau}\ u_{2}&=25 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $u_{1}=5$ atau $u_{2}=25$, karena di awal kita memisalkan dengan $u=5^{x}> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk pemisalan semula
$\begin {aligned} u_{1}=5\ &\text {atau}\ u_{2}=25\\ 5^{x}=5\ &\text {atau}\ 5^{x}=25\\ 5^{x}=5^{1}\ &\text {atau}\ 5^{x}=5^{2}\\ x=1\ &\text {atau}\ x=2 \end{aligned}$
perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125\geq 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $1$, antara $1$ dan $2$, dan lebih dari $2$
1. untuk $x< 1$ ambil bilangan $0$
| $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125$ | Ket |
|---|---|
| $5^{2(0)}-6\cdot 5^{(0)+1}+125=130$ | $\text {(+)}$ |
| $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125$ | Ket |
|---|---|
| $\small 5^{2(1,5)}-6\cdot 5^{(1,5)+1}+125=-85,41$ | $\text {(-)}$ |
| $5^{2x}-6\cdot 5^{x+1}+125$ | Ket |
|---|---|
| $5^{2(3)}-6\cdot 5^{3+1}+125=12000$ | $\text {(+)}$ |
d. $3^{2x}-6\cdot 3^{x}< 27$
Kita misalkan terlebih dahulu menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan $3^{x}=u> 0$ sehingga pertidaksamaannya menjadi
$\begin {aligned} 3^{2x}-6\cdot 3^{x}&< 27\\ \left ( 3^{2} \right )^{x}-6\cdot 3^{x}-27&< 0\\ u^{2}-6u-27&< 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $u^{2}-6u-27< 0\Rightarrow u^{2}-6u-27=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} u^{2}-6u-27&=0\\ (u+3)(u-9)&=0\\ u+3=0\ \text {atau}\ u-&9=0\\ u_{1}=-3\ \text {atau}\ u_{2}&=9 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $u_{1}=-3$ atau $u_{2}=9$, karena di awal kita memisalkan dengan $3^{x}=u> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk pemisalan semula
$\begin {aligned} u_{1}=-3\ \text {atau}\ u_{2}&=9&u> 0\\ 3^{x}&=9\ \\ 3^{x}&=3^{2}\\ x&=2 \end{aligned}$
pada $u_{1}=-3$ bukan termasuk penyelesaian karena di awal kita memisalan $3^{x}=u> 0$ artinya nilai $u$ haruslah positif, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $3^{2x}-6\cdot 3^{x}-27< 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $2$ dan lebih dari $2$
1. untuk $x< 2$ ambil bilangan $0$
2. untuk $x> 2$ ambil bilangan $3$
Pada tabel untuk $x< 2$ bernilai $\text {(-)}$ dan untuk $x> 2$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(-)}$ karena pertidaksamaan memberikan $3^{2x}-6\cdot 3^{x}-27< 0$ kurang dari. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi himpunan penyelesaian. Jadi Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x< 2 \right \}$.
$\begin {aligned} 3^{2x}-6\cdot 3^{x}&< 27\\ \left ( 3^{2} \right )^{x}-6\cdot 3^{x}-27&< 0\\ u^{2}-6u-27&< 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $u^{2}-6u-27< 0\Rightarrow u^{2}-6u-27=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} u^{2}-6u-27&=0\\ (u+3)(u-9)&=0\\ u+3=0\ \text {atau}\ u-&9=0\\ u_{1}=-3\ \text {atau}\ u_{2}&=9 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $u_{1}=-3$ atau $u_{2}=9$, karena di awal kita memisalkan dengan $3^{x}=u> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk pemisalan semula
$\begin {aligned} u_{1}=-3\ \text {atau}\ u_{2}&=9&u> 0\\ 3^{x}&=9\ \\ 3^{x}&=3^{2}\\ x&=2 \end{aligned}$
pada $u_{1}=-3$ bukan termasuk penyelesaian karena di awal kita memisalan $3^{x}=u> 0$ artinya nilai $u$ haruslah positif, perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $3^{2x}-6\cdot 3^{x}-27< 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $2$ dan lebih dari $2$
1. untuk $x< 2$ ambil bilangan $0$
| $3^{2x}-6\cdot 3^{x}-27$ | Ket |
|---|---|
| $3^{2(0)}-6\cdot 3^{0}-27=-32$ | $\text {(-)}$ |
| $3^{2x}-6\cdot 3^{x}-27$ | Ket |
|---|---|
| $3^{2(3)}-6\cdot 3^{0}-27=540$ | $\text {(+)}$ |
e. $3^{2x+1}+9-28\cdot 3^{x}> 0$
Kita misalkan terlebih dahulu menjadi persamaan kuadrat dengan memisalkan $3^{x}=u> 0$ sehingga pertidaksamaannya menjadi
$\begin {aligned} 3^{2x+1}+9-28\cdot 3^{x}&> 0\\ 3^{2x}\cdot 3^{1}-28\cdot 3^{x}+9&> 0\\ 3\cdot \left ( 3^{x} \right )^{2}-28\cdot 3^{x}+9&> 0\\ 3u^{2}-28u+9&> 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $3u^{2}-28u+9> 0\Rightarrow 3u^{2}-28u+9=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} 3u^{2}-28u+9&=0\\ (3u-1)(u-9)&=0\\ 3u-1=0\ \text {atau}\ u-9&=0\\ 3u=1\ \text {atau}\ u-9&=0\\ u_{1}=\frac{1}{3}\ \text {atau}\ u_{2}&=9 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $u_{1}=\frac{1}{3}$ atau $u_{2}=9$, karena di awal kita memisalkan dengan $3^{x}=u> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk pemisalan semula
$\begin {aligned} u_{1}=\frac{1}{3}\ \ &\text {atau}\ \ u_{2}=9\\ 3^{x}=\frac{1}{3}\ \ &\text {atau}\ \ 3^{x}=9\\ 3^{x}=3^{-1}\ \ &\text {atau}\ \ 3^{x}=3^{2}\\ x=-1\ \ &\text {atau}\ \ x=2 \end{aligned}$
perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9> 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-1$, antara $-1$ dan $2$, dan lebih dari $2$
1. untuk $x< -1$ ambil bilangan $-2$
2. untuk $-1< x< 2$ ambil bilangan $0$
3. untuk $x> 2$ ambil bilangan $3$
Pada tabel untuk $x< -1{3}$ bernilai $\text {(+)}$, untuk $-1< x< 2$ bernilai $\text {(-)}$, dan untuk $x> 2$ bernilai $\text {(+)}$. Bila kita gambarkan pada garis bilangan memberikan
Yang dijadikan himpunan penyelesaian adalah yang bernilai $\text {(+)}$ karena pertidaksamaan memberikan $3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9> 0$ lebih dari. Pada bagian yang di arsir adalah letak nilai-nilai $x$ yang memenuhi himpunan penyelesaian. Jadi Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah $\text {HP: }\left \{ \right. x\mid x< -1$ atau $x\geq 2\left. \right \}$.
$\begin {aligned} 3^{2x+1}+9-28\cdot 3^{x}&> 0\\ 3^{2x}\cdot 3^{1}-28\cdot 3^{x}+9&> 0\\ 3\cdot \left ( 3^{x} \right )^{2}-28\cdot 3^{x}+9&> 0\\ 3u^{2}-28u+9&> 0 \end{aligned}$
Kita buat pemisalan menjadi persamaan kuadrat $3u^{2}-28u+9> 0\Rightarrow 3u^{2}-28u+9=0$ untuk mencari pembuat $0$, sehingga kita bisa mencari pemfaktoran dari persamaan kuadrat
$\begin {aligned} 3u^{2}-28u+9&=0\\ (3u-1)(u-9)&=0\\ 3u-1=0\ \text {atau}\ u-9&=0\\ 3u=1\ \text {atau}\ u-9&=0\\ u_{1}=\frac{1}{3}\ \text {atau}\ u_{2}&=9 \end{aligned}$
Kita dapatkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah $u_{1}=\frac{1}{3}$ atau $u_{2}=9$, karena di awal kita memisalkan dengan $3^{x}=u> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk pemisalan semula
$\begin {aligned} u_{1}=\frac{1}{3}\ \ &\text {atau}\ \ u_{2}=9\\ 3^{x}=\frac{1}{3}\ \ &\text {atau}\ \ 3^{x}=9\\ 3^{x}=3^{-1}\ \ &\text {atau}\ \ 3^{x}=3^{2}\\ x=-1\ \ &\text {atau}\ \ x=2 \end{aligned}$
perhatikan pada tabel berikut untuk memprakirakan sebaran nilai $x$ pada pertidaksamaan $3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9> 0$ untuk kita uji pada garis bilangan yang terletak kurang dari $-1$, antara $-1$ dan $2$, dan lebih dari $2$
1. untuk $x< -1$ ambil bilangan $-2$
| $3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9$ | Ket |
|---|---|
| $3^{2(-2)+1}-28\cdot 3^{-2}+9=5,93$ | $\text {(+)}$ |
| $3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9$ | Ket |
|---|---|
| $3^{2(0)+1}-28\cdot 3^{0}+9=-16$ | $\text {(-)}$ |
| $3^{2x+1}-28\cdot 3^{x}+9$ | Ket |
|---|---|
| $3^{2(3)+1}-28\cdot 3^{3}+9=1440$ | $\text {(+)}$ |
4. Penutupan
Itulah beberapa materi dan soal berikut pembahasannya dari pertidaksamaan eksponen. Teruslah berlatih mencoba menemukan materi dan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal pertidaksamaan eksponen dari sumber-sumber yang lain. Satu catatan pada pertemuan kali ini pahami dari setiap bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen sebelum menyelesaikan soal.
Petunjuk singkat dalam berlatih pertidaksamaan eksponen, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan soal pertidaksamaan eksponen.
untuk lebih memahami materi tentang pertidaksamaan eksponen silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal pertidaksamaan eksponen, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Panduan Belajar Memahami Materi Pertidaksamaan Eksponen Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih dahulu definisi pertidaksamaan eksponen
- Pahami dan hafalkan bentuk-bentuk dari pertidaksamaan eksponen
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal pertidaksamaan eksponen
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal pertidaksamaan eksponen yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami pertidaksamaan eksponen silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep pertidaksamaan eksponen.
