Matematika Peminatan Kelas 12 - Limit Fungsi Ketakhinggaan - Teman Matematik

Matematika Peminatan Kelas 12 | Limit Fungsi Ketakhinggaan

Matematika adalah seni pemberian nama yang sama untuk hal yang berbeda.

Henri Pioncare

1. Pendahuluan

Belajar matematika bersama Teman Matematik telah sampai pada BAB kedua, setelah pertemuan sebelumnya kita telah selesai membahas BAB pertama Limit Fungsi Trigonometri pada Matematika Peminatan Kelas 12.

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan mampu:

• menganalisis dan menentukan nilai limit fungsi ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta asimtot datar dan tegak pada suatu fungsi;
• mendeskripsikan dan menggunakan konsep limit fungsi ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta asimtot datar dan tegak pada suatu fungsi;
•  menyajikan dan mengilustrasikan konsep limit ketakhinggaan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dalam konteks nyata;
• menunjukkan kompetensi teliti, percaya diri, dan rasa ingin tahu dalam mempelajari limit fungsi ketakhinggaan.

Pada BAB kedua masih seputar limit yaitu tentang Limit Fungsi Ketakhinggaan. Fungsi ketakhinggaan yaitu fungsi yang memuat simbol $\infty $ dibaca "tak hingga". Permasalahan pada kehidupan sehari-hari terkait keberadaan konsep limit fungsi ketakhinggaan salah satu contohnya adalah permasalahan berikut.

Cermati gambar berikut.
Gambar tersebut menunjukkan bahwa di dalam lingkaran dibuat segi-3, segi-4, segi-6,segi-8, dan seterusnya segi-n $\small \text {(n-polygon)}$ beraturan. Bila kita buat segi-3 maka bentuknya belum menyerupai lingkaran yang di dalamnya. Namun bila kita perhatikan sekali lagi segi-4, segi-6, segi-8. Semakin menuju segi-n beraturan maka bentuknya akan semakin mendekati lingkaran secara utuh.

Rumus luas segi-n beraturan adalah:

$\begin {aligned} \text {Luas segi-n}&=\frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right )\\ \\ \text {Keterangan:}\ &n=\text {banyak segi}\\ &r=\ \text {jari-jari lingkaran} \end {aligned}$

Apabila kita terapkan limit dari $n$ mendekati tak hingga pada rumus luas segi-n beraturan di atas, maka menjadi $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )$.

Secara eksplisit dapat disimpulkan:

1. Jika n dalam segi-n beaturan mendekati tak hingga, maka segi-n tersebut adalah mendekati lingkaran
2. Jika segi-n adalah lingkaran maka berlaku rumus luas lingkaran

Dari dua kesimpulan di atas dapat kita buat persamaan matematikanya adalah:

$\text {untuk nilai n}\to \infty \ \text {maka:}$
$\begin {aligned}
\text {Luas lingkaran}&=\text {Luas segi-n}\\
\pi r^{2}&=\displaystyle \lim_{n\to \infty }\left ( \frac{n}{2}\ r^{2}\sin \left ( \frac{2\pi}{n} \right ) \right )
\end{aligned}$

Pada pertemuan kali ini kita buat persamaan di atas sebagai hipotesis $\text {(anggap benar)}$ untuk nanti kita buktikan dengan konsep limit ketakhinggaan pada pertemuan selanjutnya, sehingga pernyataan tersebut bernilai benar.

Sebelum kita mengulas lebih jauh tentang limit fungsi ketakhinggaan, kita pahami terlebih dahulu konsep tak hingga $(\infty )$ supaya nanti kita mengaplikasikan pada limit fungsi ketakhinggaan tidak membuat bingung.

2. Pengertian "Tak Hingga"

Untuk tak-hingga $(\infty )$, perlu penjelasan lebih lanjut. Beberapa literatur berbahasa Indonesia ada yang menulisnya sebagai “tak-berhingga”, “tak-terhingga”, atau “tak-hingga” dengan atau tanpa tanda strip “-". Kita disini, menggunakan kata “tak hingga” untuk kesederhanaan penulisan.

Konsep ketakhinggan atau tak hingga merupakan konsep yang membingungkan bukan saja bagi orang awam, bahkan bagi matematikawan terkenal sekalipun. Untuk itu, perlu diperhatikan apa pengertian dan batasan “tak hingga” yang kita maksudkan disini.

Pertama, “tak hingga” bukanlah sebuah bilangan dalam hal ini bukan bilangan real maupun kompleks. Konsep tak hingga hanya menyatakan konsep suatu kecenderungan yang terus-menerus membesar baik ke arah positif maupun ke arah negatif. Jadi, kita dapat menyatakan, misalnya nilai fungsi tersebut terus membesar menuju “tak hingga” $(\infty )$. Tetapi, kita tidak dapat menyatakan, misalnya, nilai fungsi tersebut adalah tak hingga $(\infty )$.

Kedua, di dalam kalkulus atau konsep limit, lambang tak hingga $(\infty )$ dapat diperlakukan “layaknya” lambang sebuah bilangan namun harus memenuhi aturan yang berikut ini.

Operasi yang berhubungan dengan bentuk tak hingga
1.   $\large a\ \pm \infty =\pm \infty,\ \ a\in R$
2.   $\large a\times (\pm \infty) =\pm \infty,\ \ a\in R,a>0$
3.   $\large a\times (\pm \infty) =\mp \infty,\ \ a\in R,a<0$
4.   $\large \frac{a}{\infty}=0$
5.   $\large \frac{a}{0}=\infty,\ \ a\in R,a>0$
6.   $\large \frac{a}{0}=-\infty,\ \ a\in R,a<0$
7.   $\large \infty^{a}=\infty,\ \ a\in R,a\neq 0$
8.   $\large \infty^{\infty}=\infty$
9.   $\large 0^{\infty}=0$

Perhatikan bahwa di dalam kalkulus, pembagian nol secara limit didefinisikan bernilai tak hingga. Lebih tepatnya $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty$, untuk limit kanan dan $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x}=-\infty$, untuk limit kiri. Sebaliknya $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$. Jadi, sesungguhnya semua ekspresi di atas hanya berlaku di dalam konteks limit.

Dalam hal ini, kita kesampingkan dulu mengapa hasil operasi yang berhubungan dengan bentuk tak hingga di atas seperti itu, dilain kesempatan nanti kita bahas bersama. Jadi sekali lagi kita mengingat-ingat bahwa tak hingga atau $(\infty )$ bukanlah sebuah bilangan, karena bilangan yang kita pakai seluruhnya memiliki akhir, tetapi tak hingga tidak memiliki akhir, seperti yang telah dijelaskan di atas.

3. Bentuk-Bentuk Tak Tentu

Bagaimana dengan ekspresi $(\infty-\infty)$, $(\frac{\infty }{\infty})$, $(0\times \infty)$, $(\infty^{\infty})?$
pada pembahasan sebelumnya kita telah mengenal beberapa bentuk tak tentu dalam limit, ada tujuh bentuk tak tentu dalam pembahasan kalkulus limit, yaitu:

$\frac{0}{0} \ ,\ \frac{\infty }{\infty} \ ,\ 0\times \infty \ ,\ \infty-\infty \ ,\ 0^{0} \ ,\ \infty^{\infty}$ dan $1^{\infty}$

Seperti yang telah dijelskan pula sebelumnya, bahwa mengapa disebut bentuk tak tentu? Karena dari ke tujuh bentuk tak tentu di atas hanya dapat dioperasikan pada ekspresi limit, bila kita mengoperasikan fungsi menghasilkan bentuk tak tentu namun tidak disertai limitnya, maka kita tidak dapat menentukan hasil atau nilai dari operasi fungsi tersebut.

Contoh
Tentukan nilai $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$ untuk $x=1$?

Jawab:
Bila kita substitusikan maka hasilnya adalah
$\begin{aligned}
f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}&=\frac{(1^{2})+1-2}{1-1}\\ \\
&=\frac{1-1}{1-1}\\ \\
&=\frac{0}{0}
\end{aligned}$
menghasilkan bentuk tak tentu, dan kita tidak dapat menentukan nilainya dengan jelas, kalaupun kita menggunakan kalkulator untuk menghitungnya, maka akan eror, karena ekspresi tersebut tidak bisa ditentukan nilainya. Akan tetapi, bila kita menyisipkan operasi tersebut dengan limit, sehingga:

$\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$

Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}&=\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x-1}\times \displaystyle \lim_{x\to1}(x+2)\\ \\ &=1\times \displaystyle \lim_{x\to1}(x+2)\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x\to1}(x+2)\\ \\ &=1+2\\ \\ &=3 \end{aligned}$
menghasilkan nilai $3$ dengan menyederhanakan bentuk $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x-1}=1$ dan itu sah jika disertai dengan pendekatan limit. Fungsi yang awalnya menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, bila disertai limit atau dengan pendekatan limit hasilnya menjadi bentuk tentu atau $3$.

4. Pengertian Limit Fungsi menuju Tak Hingga

Untuk lebih memahami lagi penggunaan limit fungsi menuju tak hingga, perhatikan contoh berikut.
Suatu peristiwa pembagian sembako di Desa Z, Kepala Desa menyiapkan beras 1000 kg untuk dibagikan kepada warga desa Z secara merata, bila $x$ adalah banyak warga Z, maka fungsi yang menggambarkan keadaan tersebut adalah $\displaystyle f(x)=\frac{1000}{x}$. Tentukan banyaknya beras yang didapatkan tiap warga desa?

Jawab:
untuk menggambarkan keadaan tersebut perhatikan tabel di bawah ini.

$x$ banyak warga	$f(x)=\frac{1000}{x}$ bayak beras kg
10	100
50	20
100	10
1.000	1
10.000	0,1
100.000	0,01
1.000.000	0,001
100.000.000	0,00001
...	...
$\infty$	?

Jika nilai $x$ atau warga semakin banyak, maka nilai $f(x)$ atau banyak beras yang didapat semakin sedikit. Pada tabel di atas apabila warganya ada 100.000.000 maka banyak beras yang diterima tiap warga sebesar 0,00001 kg. Jika warga semakin banyak lagi dari 100.000.000 maka beras yang didapat-pun akan semakin sedikit lagi. Bagaimana jika warga tak hingga jumlahnya? maka bisa dipastikan tiap warga tidak mendapatkan beras atau 0 kg beras yang diterima warga.

Kita sebenarnya sedang menerapkan konsep limit menuju tak hingga pada contoh kasus di atas, dengan menuliskan persamaannya $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1000}{x}=\frac{1000}{\infty}=0$.

Untuk menentukan nilai dari suatu limit $x\to a$, kita dapat menyubstitusikan nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$. Begitupun untuk $x\to \infty$. Jika $f(a)$ atau $f(\infty)$ bukan merupakan bentuk tak tentu maka $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ atau $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=f(\infty)$. Tetapi khusus untuk limit menuju tak hingga, kita dapat menggunakan sifat-sifat operasi yang melibatkan nilai tak hingga seperti yang telah dibahas dibagian atas.

Untuk lebih memahami lagi cara menggunakan limit fungsi ketakhinggaan, perhatikan contoh berikut.

Contoh:

1. Tentukan nilai limit berikut

a. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{3}$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{3}=(\infty^{3})=\infty$

Bukan menghasilkan bentuk tak tentu, maka sesuai dengan kaidah operasi pada bentuk tak hingga nomor 7 bahwa $\infty^{a}=\infty,\ \ a\in R,a\neq 0$. Asalkan nilai $a\neq 0$, dalam hal ini pada soal a). Nilai pangkat dari tak hingga adalah 3, maka berlaku kaidah nomor 7 jadi hasilnya benar untuk $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{3}=\infty $.

b. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{200}{x}$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{200}{x}=\frac{200}{\infty}=0$

Bukan menghasilkan bentuk tak tentu, maka sesuai dengan kaidah operasi pada bentuk tak hingga nomor 4 bahwa $\frac{a}{\infty}=0$, dalam hal ini pada soal b). nilai $a=200$ sehingga bila $\frac{200}{\infty}=0$ adalah benar.

c. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(x^{2}-7x)$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to \infty}(x^{2}-7x)&=(\infty^{2}-7(\infty))\ \ \ ...(1)\\
&=\infty-\infty\ \ \ ...(2)
\end{aligned}$

Pada persamaan $(1)$ kita menggunakan kaidah operasi nomor 7 dan nomor 2 menghasilkan $\infty^{2}=\infty$ dan $7(\infty)=\infty$ sehingga menjadi persamaan $(2)$. Pada persamaan $(2)$ kita lihat bentuknya adalah $\infty-\infty$ merupakan bentuk tak tentu, maka penyelesaiannya dengan sedikit memodifikasi pada fungsinya, sehingga:

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to \infty}(x^{2}-7x)\\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{2}\left ( 1-\frac{7}{x} \right )\\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^{2}\times \displaystyle \lim_{x\to \infty}\left ( 1-\frac{7}{x} \right )\\
&=(\infty^{2})\times \left ( 1-\frac{7}{\infty} \right )&...(3)\\
&=\infty\times \left ( 1-0 \right )\\
&=\infty\times 1\\
&=\infty
\end{aligned}$

Perhatikan lagi pada persamaan $(3)$ kita menggunakan kaidah nomor 7 dan nomor 4, bentuk $\infty^{2}=\infty$ dan bentuk $\frac{7}{\infty}=0$. sehingga hasil akhirnya $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(x^{2}-7x)=\infty$

d. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(3x^{3}+x^{2})$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to \infty}(3x^{3}+x^{2})&=3(\infty^{3})+(\infty^{2})\ \ \ ...(1)\\
&=3(\infty)+\infty\ \ \ ...(2)\\
&=\infty+\infty\\
&=2\times \infty\ \ \ ...(3)\\
&=\infty
\end{aligned}$

Bukan menghasilkan bentuk tak tentu, sesuai dengan kaidah nomor 7 pada persamaan $(1)$, kaidah nomor 2 pada persamaan $(2)$, dan $(3)$. Atau $\infty+\infty$ bukanlah bentuk tak tentu karena kita bisa sederhanakan menjadi $2\times \infty=\infty$.

2. Hitunglah nilai setiap limit berikut

a. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(25-\infty)$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to \infty}(25-\infty)&=25-\infty\\
&=-\infty
\end{aligned}$

Bukan menghasilkan bentuk tak tentu, maka sesuai dengan kaidah operasi bentuk tak hingga nomor 1 pada persamaan di atas $25-\infty=-\infty$.

b. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{4+5x}{x}$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{4+5x}{x}&=\frac{4+5(\infty)}{\infty}\\
&=\frac{4+\infty}{\infty}&...(1)\\
&=\frac{\infty}{\infty}
\end{aligned}$

Menghasilkan bentuk tak tentu, pada persamaan $(1)$ dengan kaidah operasi nomor 1 adalah $4+\infty=\infty$ sehingga hasilnya menjadi bentuk tak tentu. Maka kita buat penyelesaian dengan memfaktorkan fungsi tersebut, menjadi:

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{4+5x}{x}\\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{4}{x}+\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x}\\
&=\frac{4}{\infty}+5&...(2)\\
&=0+5\\
&=5
\end{aligned}$

Pada persamaan $(2)$ menggunakan kaidah operasi nomor  4, sehingga $\frac{4}{\infty}=0$ dan hasil akhir nilai yang dicari adalah 5.

c. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{x-1}$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{x-1}&=\frac{2}{\infty-1}&...(1)\\
&=\frac{2}{\infty}&...(2)\\
&=0
\end{aligned}$

Bukan menghasilkan bentuk tak tentu, maka sesuai dengan kaidah operasi bentuk tak hingga nomor 1 pada persamaan $(1)$ adalah $\infty-1=\infty$ dan kaidah operasi nomor 4 pada persamaan $(2)$ adalah $\frac{2}{\infty}=0$. Sehingga nilai yang dicari adalah 0.

d. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{5}}$

Kita coba substitusikan terlebih dahulu apakah menghasilkan bentuk tak tentu atau bukan

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{5}}=\frac{1}{\infty^{5}}=\frac{1}{\infty}=0$

Bukan menghasilkan bentuk tak tentu, maka sesuai dengan kaidah operasi bentuk tak hingga nomor 7 adalah $\infty^{5}=\infty$ dan kaidah operasi nomor 4 adalah $\frac{1}{\infty}=0$. Maka nilai yang dicari adalah 0.

5. Menentukan nilai limit fungsi menuju tak hingga bentuk $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$

Sebelumnya kita telah menentukan nilai suatu limit untuk $x\to \infty$ dengan cara menyubstitusikan nilai $x=\infty$ ke dalam fungsi $f(x)$ yang menggunakan kaidah operasi bentuk tak hingga. Bagaimana jika bentuk limitnya $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}?$

Sebuah langkah sederhana untuk menentukan nilai suatu limit dengan bentuk $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ adalah membagi setiap suku pada fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ atau pembilang dengan penyebutnya dengan variabel pangkat tertinggi diantara suku pada fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ atau pembilang dengan penyebutnya. Sehingga menyisakan bentuk yang paling sederhana. Perhatikan contoh berikut.

3. Tentukan nilai dari setiap limit fungsi berikut

a. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2x^{2}+10x-3}{3x^{2}-6x+7}$

Perhatikan setiap suku-suku pada fungsi pembilang dan penyebut, variabel pangkat tertingginya adalah $x^{2}$ terletak sebagai pembilang sekaligus penyebut, maka langkah selanjutnya kita bagi pada fungsi pembilang dengan $x^{2}$ dan kita bagi pada fungsi penyebut dengan $x^{2}$. Sehingga menjadi.

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2x^{2}+10x-3}{3x^{2}-6x+7}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{10x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{3x^{2}}{x^{2}}-\frac{6x}{x^{2}}+\frac{7}{x^{2}}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2+\frac{10}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{3-\frac{6}{x}+\frac{7}{x^{2}}}&...(1)\\ \\
&= \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{3}\\ \\
&=\frac{2}{3}
\end{aligned}$

Perhatikan pada fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{10}{x},\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{3}{x^{2}}$ dan fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{6}{x},\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{7}{x^{2}}$ persamaan $(1)$, pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa nilainya adalah 0. Sehingga menyisakan $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2+0-0}{3-0+0}=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{3}$, dan hasil akhirnya adalah $\large \frac{2}{3}$.

b. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{3x^{2}-5x}{2x^{3}-x+1}$

Perhatikan setiap suku-suku pada fungsi pembilang dan penyebut, variabel pangkat tertingginya adalah $x^{3}$ terletak sebagai penyebut, maka langkah selanjutnya kita bagi pada fungsi pembilang dengan $x^{3}$ dan kita bagi pada fungsi penyebut dengan $x^{3}$. Sehingga menjadi.

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{3x^{2}-5x}{2x^{3}-x+1}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{3x^{2}}{x^{3}}-\frac{5x}{x^{3}}}{\frac{2x^{3}}{x^{3}}-\frac{x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{3}{x}-\frac{5}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}&...(1)\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{0}{2}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}0=0
\end{aligned}$

Perhatikan pada fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{3}{x},\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5}{x^{2}}$ dan fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{2}},\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{3}}$ persamaan $(1)$, pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa nilainya adalah 0. Sehingga menyisakan $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{0-0}{2-0+0}=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{0}{3}$, dan hasil akhirnya adalah 0.

c. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5x^{4}+7}{x^{2}-5}$

Perhatikan setiap suku-suku pada fungsi pembilang dan penyebut, variabel pangkat tertingginya adalah $x^{4}$ terletak sebagai pembilang, maka langkah selanjutnya kita bagi pada fungsi pembilang dengan $x^{4}$ dan kita bagi pada fungsi penyebut dengan $x^{4}$. Sehingga menjadi.

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5x^{4}+7}{x^{2}-5}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{5x^{4}}{x^{4}}+\frac{7}{x^{4}}}{\frac{x^{2}}{x^{4}}-\frac{5}{x^{4}}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5+\frac{7}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{5}{x^{4}}}&...(1)\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5}{0}\\ \\
&=\infty
\end{aligned}$

Perhatikan pada fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{7}{x^{4}}$ dan fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^{2}},\ \displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5}{x^{4}}$ persamaan $(1)$, pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa nilainya adalah 0. Sehingga menyisakan $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5+0}{0-0}=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{5}{0}$, dan hasil akhirnya adalah $\infty$ sesuai dengan kaidah operasi limit nomor 5 bahwa $\frac{a}{0}=\infty,\ \ a\in R,a>0$ dalam hal ini nilai $a=5$ atau positif sehingga benar hasil ahirnya adalah $\infty$.

d. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2x-3}{\sqrt{3x^{2}+2}}$

Perhatikan setiap suku-suku pada fungsi pembilang dan penyebut, variabel pangkat tertingginya adalah $x$ terletak sebagai pembilang sekaligus penyebut. Meskipun pada penyebut terdapat akar, bila kita sederhanakan bentuk akarnya menjadi $\sqrt{3x^{2}}=x\sqrt{3}$, terlihat pangkat variabel tertinggi pada penyebut-pun adalah $x$, maka langkah selanjutnya kita bagi pada fungsi pembilang dengan $x$ dan kita bagi pada fungsi penyebut dengan $x$. Sehingga menjadi.

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2x-3}{\sqrt{3x^{2}+2}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{3x^{2}+2}}{x}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x}{x}-\frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{\sqrt{3+\frac{2}{x^{2}}}}&...(1)\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \\
&=\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \\
&=\frac{2}{3}\sqrt{3}
\end{aligned}$

Perhatikan pada fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{3}{x}$ dan fungsi $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{x^{2}}$ persamaan $(1)$, pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa nilainya adalah 0. Sehingga menyisakan $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2-0}{\sqrt{3+0}}=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{2}{\sqrt{3}}$, dan hasil akhirnya adalah $\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{3}$.

6. Penutupan

Itulah beberapa materi dan soal berikut pembahasannya dari materi limit fungsi ketakhinggaan. Teruslah berlatih mencoba menemukan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal limit fungsi ketakhinggaan dari sumber-sumber yang lain. Satu catatan pada pertemuan pertama di BAB kedua ini adalah perhatikan bentuk-bentuk operasi pada limit fungsi ketakhinggaan, karena kita akan menemukan kucinya dibagian itu.

Petunjuk singkat dalam berlatih limit fungsi ketakhinggaan, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan tipe soal yang berbeda-beda dari limit fungsi ketakhinggaan.

untuk lebih memahami materi tentang limit fungsi ketakhinggaan silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.



Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi ketakhinggaan, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.



Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Ketakhinggaan secara mandiri

1. Berdoa sebelum memulai belajar
2. Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
3. Pahami terlebih dahulu definisi limit fungsi ketakhinggaan
4. Pahami dan hafalkan kaidah operasi pada limit fungsi ketakhinggaan
5. Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
6. Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
7. Kerjakan latihan-latihan soal limit fungsi ketakhinggaan
8. Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
9. Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal llimit fungsi ketakhinggaan yang lain dari sumber internet
10. Akhiri setiap belajar dengan berdoa

Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami limit fungsi ketakhinggaan silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.

Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi ketakhinggaan.

Baca Lainnya