Matematika Peminatan Kelas 10 | Pertidaksamaan Bentuk AkarInti dari matematika adalah untuk tidak membuat hal-hal sederhana menjadi rumit, tetapi untuk membuat hal-hal rumit menjadi sederhana.
1. Pendahuluan
Pada awal pembahasan BAB kita telah mengetahui bentuk akar berkaitan dengan eksponen, salah satu ekspresi eksponen adalah bentuk akar dan bentuk akar merupakan salah satu contoh bilangan irrasional. Pertidaksamaan eksponen tidak selalu berbentuk pangkat seperti pada pembahasan sebelumnya, bisa juga dituliskan dengan ekspresi bentuk akar. Pertidaksamaan bentuk akar sering disebut juga pertidaksamaan irrasional, yaitu pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam tanda akar. Penyelesaiannya hampir mirip dengan penyelesaian pertidaksamaan eksponen, namun pada bagian ini, garis bilangan kemungkinan banyak dipakai untuk menentukan irisan dari penyelesaian dan syarat yang muncul karena adanya bentuk akar atau fungsi dalam akar.
Untuk mendapatkan solusi atau penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar adalah dengan mencari nilai dari variabel yang ada dalam pertidaksamaan yang mengakibatkan pertidaksamaan menjadi benar disebut penyelesaian atau solusi dari pertidaksamaan. Sedangkan himpunan dari semua penyelesaian atau solusi disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan, ketika kita mengujinya ke dalam pertidaksamaan bentuk akar.
Sebagai contoh misalkan ada sebuah pertidaksamaan bentuk akar $\sqrt{x+1}< 2$ kita bisa menaksir kira-kira bilangan apa saja yang mengakibatkan pertidaksamaan menjadi benar, kita bisa menaksir asalkan nilai $x< 3$ maka pertidaksamaan menjadi benar, misalkan ambil bilangan $x$-nya adalah bilangan bulat untuk mempermudah kita, $x=1$ bila kita terapkan pada pertidaksamaan $\sqrt{2}< 2$ mengakibatkan pertidaksamaan menjadi benar karena nilai pendekatan $\sqrt{2}=1,414213...$ adalah benar $< 2$, dan bilangan lain asalkan nilai $x$-nya $< 3$ maka bernilai benar, namun yang kita perlu waspadai adalah bentuk akar itu tidak boleh bernilai negatif untuk pembahasan bilangan Real. Karena itu ada batasan untuk nilai $x$ sehingga tidak negatif, yaitu nilai $x$ tidak kurang dari $-1$ maka bentuk akar menjadi aman, sehingga bila kita tuliskan himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar di atas menjadi $\left \{ 3,2,1,0,-1 \right \}$ untuk anggota bilangan bulat. Namun kurang lengkap untuk kita tuliskan anggota himpunan dalam bilangan real, karena sesungguhnya banyak bilangan yang berjarak antara $3$ ke $2$ banyak sekali, untuk itu cukup kita menuliskan anggota himpunan bilangan yang menjadi penyelesaiannya dengan $\left \{ -1\leq x< 4 \right \}$ mengakibatkan menuliskan penyelesaian lebih presisi dari sebelumnya. Untuk mengingat materi bentuk akar sebelumnya, kita tuliskan ulang materi sebelumnya.
Bentuk Akar
Jika $\sqrt{a}$ bukan bentuk akar, maka $\sqrt{a}$ merupakan operasi penarikan akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional, dalam hal ini berlaku: untuk $a$ dan $n$ adalah bilangan Real tak negatif atau $a$ dan $n\geq 0$ maka:
$\large \sqrt{a}=n\Rightarrow \sqrt{a^{2}}=n^{2}\Rightarrow a=n^{2}$
Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk akar ini, kita pelajari sifat-sifat pertidaksamaan bentuk akar berikut secara teliti.
2. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Bentuk Akar
1. Bentuk-bentuk pertidaksamaan irrasional atau bentuk akar- Jika $\sqrt{f(x)} < a$ untuk $a > 0$
$(i).\ f(x) ≥ 0$ sebagai syarat akar
$(ii).\ f(x) < a^{2}$
penyelesaiannya adalah irisan $(i)$ dan $(ii)$
Hal ini berlaku juga jika tandanya $≤,\ >\ dan\ ≥$
- Jika $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$
$(i).\ f(x) ≥ 0$ sebagai syarat akar
$(ii).\ g(x) ≥ 0$ sebagai syarat akar
$(iii).\ f(x) < g(x)$
penyelesaiannya adalah irisan $(i)$, $(ii)$ dan $(iii)$
Hal ini berlaku juga jika tandanya $≤,\ >\ dan\ ≥$
- Jika $\sqrt{f(x)} < g(x)$
$(i).\ f(x) ≥ 0$ sebagai syarat akar
$(ii).\ g(x) > 0$
$(iii).\ f(x) < g^{2}(x)$
penyelesaiannya adalah irisan $(i)$, $(ii)$ dan $(iii)$.
Hal ini berlaku juga jika tandanya $≤.$
- Jika $\sqrt{f(x)} > g(x)$ maka
$g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
$(i).\ \text {untuk } g(x)< 0\ \cap \ f(x)\geq 0$ sebagai syarat akar atau
$(ii).\ \text {untuk } g(x)\geq 0\ \cap \ f(x)\geq 0$ sebagai syarat akar dan
$(iii).\ f(x)> g^{2}(x)$
penyelesaiannya adalah irisan $(i)$ digabung dengan irisan $(ii)$, $(iii)$.
Hal ini berlaku juga jika tandanya $≥.$
Menentukan solusi dari pertidaksamaan bentuk akar selain dengan bentuk-bentuk pertidaksamaan bentuk akar seperti di atas, juga diperlukan sebuah gambaran penyebaran himpunan penyelesaian pada garis bilangan, untuk mempermudah kita dalam mencari solusi dari pertidaksamaan bentuk akar, dengan bantuan garis bilangan akan terlihat prakiraan sebaran bilangan yang akan dijadikan himpunan penyelesaian baik bentuk tunggal ataupun jamak. Bila berbentuk solusi jamak, maka yang diperlukan untuk mencari himpunan penyelesaian adalah dengan mencari irisan dari sebaran penyelesaian, garis bilangan yang akan kita bicarakan disini adalah garis bilangan Real, jadi semua anggota yang termuat dalam garis bilangan adalah anggota bilangan real atau $\left \{ x\mid x\in R \right \}$. Ada beberapa yang perlu diperhatikan dalam menentukan penyelesaian dengan garis bilangan pertidaksamaan bentuk akar, yaitu:
a. Garis bilangan $x> a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x> 0$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x> 0 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kanan menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $0$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau hanya $x> 0$, artinya untuk bilangan $0$ sendiri bukan termasuk anggota himpunan penyelesaian.
b. Garis bilangan $x\geq a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x\geq 1$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x\geq 1 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kanan menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $1$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\geq 1$, artinya untuk bilangan $1$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian.
c. Garis bilangan $x< a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x< -1$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x> -1 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kiri menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, dan pada titik $-1$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau hanya $x -1$, artinya untuk bilangan $-1$ sendiri bukan termasuk anggota himpunan penyelesaian.
d. Garis bilangan $x\leq a$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x\leq -2$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x\leq -2 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arahnya ke kiri menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, dan pada titik $-2$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\leq -2$, artinya untuk bilangan $-2$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian.
e. Garis bilangan $x< x_{1}\ \cup \ x> x_{2}$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $x< -3$ atau $x\geq 1$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x< -3\ \ \text {atau} \ \ x\geq 1 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arah ke kiri untuk $-3$ menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, arah ke kanan untuk $1$ menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $-3$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau $x< -3$, artinya untuk bilangan $-3$ sendiri tidak termasuk anggota himpunan penyelesaian, serta pada titik $1$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\geq 1$, artinya untuk bilangan $1$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian. Maka ada dua kemungkinan yang bisa dijadikan himpunan penyelesaian yaitu $x< -3$ atau $x\geq 1$.
f. Garis bilangan $x_{1}< x< x_{2}$
Misalkan kita akan menentukan Himpunan Penyelesaian $-4\leq x< 3$ maka bila kita gambarkan pada garis bilangan menjadi
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid -4\leq x< 3 \right \}$. Perhatikan sekali lagi pada gambar garis bilangan di atas, yaitu arah ke kiri untuk $3$ menandakan bentuk pertidaksamaan kurang dari $< $, arah ke kanan untuk $-4$ menandakan bentuk pertidaksamaan lebih dari $> $, dan pada titik $-4$ gambarnya bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya memuat sama dengan atau $x\geq -4\Leftrightarrow -4\leq x$, artinya untuk bilangan $-4$ sendiri termasuk anggota himpunan penyelesaian, serta pada titik $3$ gambarnya tidak bulat penuh, menandakan bahwa pertidaksamaanya tidak memuat sama dengan atau $x< 3$, artinya untuk bilangan $3$ sendiri tidak termasuk anggota himpunan penyelesaian. Maka himpunan penyelesaian terletak diantara bilangan $-4$ dan $3$ atau $-4\leq x< 3$.
Selanjutnya tinggal kombinasi dari tiap-tiap gambar garis bilangan di atas untuk menentukan himpunan penyelesaian yang umumnya muncul pada soal. Agar lebih mempermudah kita dalam memahami konsep pertidaksamaan bentuk akar, mari kita pelajari dan simak contoh soal di bawah ini
3. Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan bentuk akar berikut.a. $\sqrt{x-2}> 3$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&> a\\ \sqrt{x-2}&> 3 \end{aligned}$
Solusi I
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x-2&\geq 0\\ x&\geq 2&.\ .\ .\ \text {(1)} \end{aligned}$
Solusi II
$\begin {aligned} f(x)&> a^{2}\\ x-2&> 3^{2}\\ x-2&> 9\\ x&> 9+2\\ x&> 11&.\ .\ .\ \text {(2)} \end{aligned}$
Penyelesaian adalah irisan dari solusi I dan solusi II $\text {(1)}\cap \text {(2)}$ bila kita buat pada garis bilangan menjadi
Pada bagian yang diarsir adalah letak nilai $x$ yang memenuhi. Jadi nilai$x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\left \{ x\mid x> 11 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&> a\\ \sqrt{x-2}&> 3 \end{aligned}$
Solusi I
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x-2&\geq 0\\ x&\geq 2&.\ .\ .\ \text {(1)} \end{aligned}$
Solusi II
$\begin {aligned} f(x)&> a^{2}\\ x-2&> 3^{2}\\ x-2&> 9\\ x&> 9+2\\ x&> 11&.\ .\ .\ \text {(2)} \end{aligned}$
Penyelesaian adalah irisan dari solusi I dan solusi II $\text {(1)}\cap \text {(2)}$ bila kita buat pada garis bilangan menjadi
b. $\sqrt{2x-1}< 1$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&< a\\ \sqrt{2x-1}&< 1 \end{aligned}$
Solusi I
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 2x-1&\geq 0\\ 2x&\geq 1\\ x&\geq \frac{1}{2}&.\ .\ .\ \text {(1)} \end{aligned}$
Solusi II
$\begin {aligned} f(x)&< a^{2}\\ 2x-1&< 1^{2}\\ 2x-1&< 1\\ 2x&< 1+1\\ 2x&< 2\\ x&< 1&.\ .\ .\ \text {(2)} \end{aligned}$
Penyelesaian adalah irisan dari solusi I dan solusi II $\text {(1)}\cap \text {(2)}$ bila kita buat pada garis bilangan menjadi
Pada bagian yang diarsir adalah letak nilai $x$ yang memenuhi. Jadi nilai$x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\left \{ x\mid \frac{1}{2}\leq x< 1 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&< a\\ \sqrt{2x-1}&< 1 \end{aligned}$
Solusi I
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 2x-1&\geq 0\\ 2x&\geq 1\\ x&\geq \frac{1}{2}&.\ .\ .\ \text {(1)} \end{aligned}$
Solusi II
$\begin {aligned} f(x)&< a^{2}\\ 2x-1&< 1^{2}\\ 2x-1&< 1\\ 2x&< 1+1\\ 2x&< 2\\ x&< 1&.\ .\ .\ \text {(2)} \end{aligned}$
Penyelesaian adalah irisan dari solusi I dan solusi II $\text {(1)}\cap \text {(2)}$ bila kita buat pada garis bilangan menjadi
c. $\sqrt{x+2}\geq x$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\geq g(x)\\ \sqrt{x+2}&\geq x \end{aligned}$
maka $g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
Solusi I
$\begin {aligned} g(x)&< 0\\ x&< 0 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x+2&\geq 0\\ x&\geq -2 \end{aligned}$
Irisan dari kedua himpunan bilangan di atas digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisannya, sehingga bila dituliskan menjadi $\left \{ -2\leq x< 0 \right \}$
Solusi II
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x+2&\geq 0\\ x&\geq -2 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\geq g^{2}(x)\\ x+2&\geq x^{2}\\ -x^{2}+x+2&\geq 0\\ x^{2}-x-2&\leq 0\\ x^{2}-x-2&= 0\ \ \text {(difaktorkan)}\\ (x-2)(x+1)&= 0\\ x-2=0,\ x+1&=0\\ x=2,\ x&=-1 \end{aligned}$
sehingga himpunannya adalah $\left \{ -1\leq x\leq 2 \right \}$
Irisan dari solusi II dan solusi III digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisannya, sehingga bila dituliskan menjadi $\left \{ 0\leq x\leq 2 \right \}$
Kesimpulan dari semua himpunan di atas adalah gabungan dari solusi I dengan irisan solusi II dan solusi III, bila digambarkan dengan garis bilangan menjadi
Pada bagian yang diarsir adalah letak nilai $x$ yang memenuhi. Jadi nilai$x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\left \{ -2\leq x\leq 2 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\geq g(x)\\ \sqrt{x+2}&\geq x \end{aligned}$
maka $g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
Solusi I
$\begin {aligned} g(x)&< 0\\ x&< 0 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x+2&\geq 0\\ x&\geq -2 \end{aligned}$
Irisan dari kedua himpunan bilangan di atas digambarkan oleh
Solusi II
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x+2&\geq 0\\ x&\geq -2 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\geq g^{2}(x)\\ x+2&\geq x^{2}\\ -x^{2}+x+2&\geq 0\\ x^{2}-x-2&\leq 0\\ x^{2}-x-2&= 0\ \ \text {(difaktorkan)}\\ (x-2)(x+1)&= 0\\ x-2=0,\ x+1&=0\\ x=2,\ x&=-1 \end{aligned}$
sehingga himpunannya adalah $\left \{ -1\leq x\leq 2 \right \}$
Irisan dari solusi II dan solusi III digambarkan oleh
Kesimpulan dari semua himpunan di atas adalah gabungan dari solusi I dengan irisan solusi II dan solusi III, bila digambarkan dengan garis bilangan menjadi
d. $\sqrt{3x-6}\leq \sqrt{4-2x}$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\leq \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{3x-6}&\leq \sqrt{4-2x} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 3x-6&\geq 0\\ 3x&\geq 6\\ x&\geq \frac{6}{3}\\ x&\geq 2 \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ 4-2x&\geq 0\\ -2x&\geq -4\\ x&\leq \frac{-4}{-2}\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\leq g(x)\\ 3x-6&\leq 4-2x\\ 3x+2x&\leq 4+6\\ 5x&\leq 10\\ x&\leq \frac{10}{5}\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III digambarkan oleh
irisan dari ketiga solusi di atas adalah nilai $x$ yang memenuhi yaitu 2. Jadi nilai$x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\left \{ 2 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\leq \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{3x-6}&\leq \sqrt{4-2x} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 3x-6&\geq 0\\ 3x&\geq 6\\ x&\geq \frac{6}{3}\\ x&\geq 2 \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ 4-2x&\geq 0\\ -2x&\geq -4\\ x&\leq \frac{-4}{-2}\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\leq g(x)\\ 3x-6&\leq 4-2x\\ 3x+2x&\leq 4+6\\ 5x&\leq 10\\ x&\leq \frac{10}{5}\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III digambarkan oleh
e. $\sqrt{4-x}> 2-x$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&> g(x)\\ \sqrt{4-x}&> 2-x \end{aligned}$
maka $g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
Solusi I
$\begin {aligned} g(x)&< 0\\ 2-x&< 0\\ -x&< -2\\ x&> 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 4-x&\geq 0\\ -x&\geq -4\\ x&\leq 4 \end{aligned}$
Irisan dari kedua himpunan bilangan di atas digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisannya, sehingga bila dituliskan menjadi $\left \{ 2< x\leq 4 \right \}$
Solusi II
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ 2-x&\geq 0\\ -x&\geq -2\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 4-x&\geq 0\\ -x&\geq -4\\ x&\leq 4 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&> g^{2}(x)\\ 4-x&> (2-x)^{2}\\ 4-x&> x^{2}-4x+4\\ -x^{2}+4x-x+4-4&> 0\\ -x^{2}+3x&> 0\\ x^{2}-3x&< 0\ \ \text {(difaktorkan)}\\ x(x-3)&= 0\\ x=0,\ x-3&=0\\ x=0,\ x&=3 \end{aligned}$
sehingga himpunannya adalah $\left \{ 0< x< 3 \right \}$
Irisan dari solusi II dan solusi III digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisannya, sehingga bila dituliskan menjadi $\left \{ 0< x\leq 2 \right \}$
Kesimpulan dari semua himpunan di atas adalah gabungan dari solusi I dengan irisan solusi II dan solusi III, bila digambarkan dengan garis bilangan menjadi
Pada bagian yang diarsir adalah letak nilai $x$ yang memenuhi. Jadi nilai$x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\left \{ 0< x\leq 4 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&> g(x)\\ \sqrt{4-x}&> 2-x \end{aligned}$
maka $g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
Solusi I
$\begin {aligned} g(x)&< 0\\ 2-x&< 0\\ -x&< -2\\ x&> 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 4-x&\geq 0\\ -x&\geq -4\\ x&\leq 4 \end{aligned}$
Irisan dari kedua himpunan bilangan di atas digambarkan oleh
Solusi II
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ 2-x&\geq 0\\ -x&\geq -2\\ x&\leq 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 4-x&\geq 0\\ -x&\geq -4\\ x&\leq 4 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&> g^{2}(x)\\ 4-x&> (2-x)^{2}\\ 4-x&> x^{2}-4x+4\\ -x^{2}+4x-x+4-4&> 0\\ -x^{2}+3x&> 0\\ x^{2}-3x&< 0\ \ \text {(difaktorkan)}\\ x(x-3)&= 0\\ x=0,\ x-3&=0\\ x=0,\ x&=3 \end{aligned}$
sehingga himpunannya adalah $\left \{ 0< x< 3 \right \}$
Irisan dari solusi II dan solusi III digambarkan oleh
Kesimpulan dari semua himpunan di atas adalah gabungan dari solusi I dengan irisan solusi II dan solusi III, bila digambarkan dengan garis bilangan menjadi
2. Tentukan Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan bentuk akar berikut.
a. $\sqrt{8-3x}> \sqrt{x}$
b. $\sqrt{1-x}< \sqrt{2x+6}$
c. $\sqrt{x^{2}-3x+2}\leq \sqrt{x+7}$
d. $x> \sqrt{x+12}$
e. $\sqrt{x}+2\geq x$
a. $\sqrt{8-3x}> \sqrt{x}$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&> \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{8-3x}&> \sqrt{x} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 8-3x&\geq 0\\ -3x&\geq -8\\ x&\leq \frac{-8}{-3}\\ x&\leq \frac{8}{3} \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&> g(x)\\ 8-3x&> x\\ -3x-x&> -8\\ -4x&> -8\\ x&< \frac{-8}{-4}\\ x&< 2 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisan dari himpunan penyelesaian yang memenuhi. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid 0\leq x< 2 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&> \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{8-3x}&> \sqrt{x} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 8-3x&\geq 0\\ -3x&\geq -8\\ x&\leq \frac{-8}{-3}\\ x&\leq \frac{8}{3} \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&> g(x)\\ 8-3x&> x\\ -3x-x&> -8\\ -4x&> -8\\ x&< \frac{-8}{-4}\\ x&< 2 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III digambarkan oleh
b. $\sqrt{1-x}< \sqrt{2x+6}$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&< \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{1-x}&< \sqrt{2x+6} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 1-x&\geq 0\\ -x&\geq -1\\ x&\leq 1 \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ 2x+6&\geq 0\\ 2x&\geq -6\\ x&\geq \frac{-6}{2}\\ x&\geq -3 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&< g(x)\\ 1-x&< 2x+6\\ -x-2x&< 6-1\\ -3x&< 5\\ x&> \frac{5}{-3} \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisan dari himpunan penyelesaian yang memenuhi. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid -\frac{5}{3}< x\leq 1 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&< \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{1-x}&< \sqrt{2x+6} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ 1-x&\geq 0\\ -x&\geq -1\\ x&\leq 1 \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ 2x+6&\geq 0\\ 2x&\geq -6\\ x&\geq \frac{-6}{2}\\ x&\geq -3 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&< g(x)\\ 1-x&< 2x+6\\ -x-2x&< 6-1\\ -3x&< 5\\ x&> \frac{5}{-3} \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III digambarkan oleh
c. $\sqrt{x^{2}-3x+2}\leq \sqrt{x+7}$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\leq \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{x^{2}-3x+2}&\leq \sqrt{x+7} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x^{2}-3x+2&\geq 0&\text {(faktorkan)}\\ (x-1)(x-2)&=0\\ x-1=0\ \text {atau}\ x-2&=0\\ x=1\ \text {atau}\ x&=2\\ 1\leq x&\leq 2 \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x+7&\geq 0\\ x&\geq -7 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\leq g(x)\\ x^{2}-3x+2&\leq x+7\\ x^{2}-3x-x+2-7&\leq 0\\ x^{2}-4x-5&\leq 0\\ x^{2}-4x-5&=0&\text {(faktorkan)}\\ (x+1)(x-5)&=0\\ x+1=0\ \text {atau}\ x-5&=0\\ x=-1\ \text {atau}\ x&=5\\ -1\leq x&\leq 5 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah gabungan dari syarat akar dengan irisan dari solusi III, digambarkan oleh
gambar gabungan syarat akar
gambar irisan dari solusi III dan gabungan syarat akar
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisan dan gabungan dari himpunan penyelesaian yang memenuhi. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid -1\leq x\leq 1\ \text {atau}\ 2\leq x\leq 5 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\leq \sqrt{g(x)}\\ \sqrt{x^{2}-3x+2}&\leq \sqrt{x+7} \end{aligned}$
Solusi I
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x^{2}-3x+2&\geq 0&\text {(faktorkan)}\\ (x-1)(x-2)&=0\\ x-1=0\ \text {atau}\ x-2&=0\\ x=1\ \text {atau}\ x&=2\\ 1\leq x&\leq 2 \end{aligned}$
Solusi II
syarat akar $g(x)\geq 0$
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x+7&\geq 0\\ x&\geq -7 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\leq g(x)\\ x^{2}-3x+2&\leq x+7\\ x^{2}-3x-x+2-7&\leq 0\\ x^{2}-4x-5&\leq 0\\ x^{2}-4x-5&=0&\text {(faktorkan)}\\ (x+1)(x-5)&=0\\ x+1=0\ \text {atau}\ x-5&=0\\ x=-1\ \text {atau}\ x&=5\\ -1\leq x&\leq 5 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah gabungan dari syarat akar dengan irisan dari solusi III, digambarkan oleh
gambar gabungan syarat akar
d. $x> \sqrt{x+12}$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&< g(x)\\ x&> \sqrt{x+12}\\ \sqrt{x+12}&< x \end{aligned}$
solusi I syarat akar
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x+12&\geq 0\\ x&\geq -12 \end{aligned}$
solusi II
$\begin {aligned} g(x)&> 0\\ x&> 0 \end {aligned}$
solusi III
$\begin {aligned} f(x)&< g^{2}(x)\\ x+12&< x^{2}\\ -x^{2}+x+12&< 0\\ x^{2}-x-12&> 0\\ x^{2}-x-12&=0&\text {(faktorkan)}\\ (x+3)(x-4)&=0\\ x+3=0\ \text {atau}\ x-4&=0\\ x=-3\ \text {atau}\ x&=4\\ x< -3\ \text {atau}\ x> 4 \end {aligned}$
penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III, diperlihatkan oleh gambar
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisan dari himpunan penyelesaian yang memenuhi. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah $\text {HP: }\left \{ x\mid x> 4 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&< g(x)\\ x&> \sqrt{x+12}\\ \sqrt{x+12}&< x \end{aligned}$
solusi I syarat akar
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x+12&\geq 0\\ x&\geq -12 \end{aligned}$
solusi II
$\begin {aligned} g(x)&> 0\\ x&> 0 \end {aligned}$
solusi III
$\begin {aligned} f(x)&< g^{2}(x)\\ x+12&< x^{2}\\ -x^{2}+x+12&< 0\\ x^{2}-x-12&> 0\\ x^{2}-x-12&=0&\text {(faktorkan)}\\ (x+3)(x-4)&=0\\ x+3=0\ \text {atau}\ x-4&=0\\ x=-3\ \text {atau}\ x&=4\\ x< -3\ \text {atau}\ x> 4 \end {aligned}$
penyelesaiannya adalah irisan dari solusi I, solusi II, dan solusi III, diperlihatkan oleh gambar
e. $\sqrt{x}+2\geq x$
Pertidaksamaan bentuk akar
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\geq g(x)\\ \sqrt{x}+2&\geq x\\ \sqrt{x}&\geq x-2 \end{aligned}$
maka $g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
Solusi I
$\begin {aligned} g(x)&< 0\\ x-2&< 0\\ x&< 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
Irisan dari kedua himpunan bilangan di atas digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisannya, sehingga bila dituliskan menjadi $\left \{ 0\leq x< 2 \right \}$
Solusi II
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x-2&\geq 0\\ x&\geq 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\geq g^{2}(x)\\ x&\geq (x-2)^{2}\\ x&\geq x^{2}-4x+4\\ -x^{2}+4x+x-4&\geq 0\\ -x^{2}+5x-4&\geq 0\\ x^{2}-5x+4&\leq 0\\ (x-1)(x-4)&=0\ \ \text {(difaktorkan)}\\ x-1=0,\ x-4&=0\\ x=1,\ x&=4\\ 1\leq x&\leq 4 \end{aligned}$
sehingga himpunannya adalah $\left \{ 1\leq x\leq 4 \right \}$
Irisan dari solusi II dan solusi III digambarkan oleh
Pada bagian yang diarsir adalah letak irisannya, sehingga bila dituliskan menjadi $\left \{ 2\leq x\leq 4 \right \}$
Kesimpulan dari semua himpunan di atas adalah gabungan dari solusi I dengan irisan solusi II dan solusi III, bila digambarkan dengan garis bilangan menjadi
Pada bagian yang diarsir adalah letak himpunan penyelesaiannya. Jadi Himpunan Penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\left \{ 0\leq x\leq 4 \right \}$
$\begin {aligned} \sqrt{f(x)}&\geq g(x)\\ \sqrt{x}+2&\geq x\\ \sqrt{x}&\geq x-2 \end{aligned}$
maka $g(x)< 0$ atau $g(x)\geq 0$
Solusi I
$\begin {aligned} g(x)&< 0\\ x-2&< 0\\ x&< 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
Irisan dari kedua himpunan bilangan di atas digambarkan oleh
Solusi II
$\begin {aligned} g(x)&\geq 0\\ x-2&\geq 0\\ x&\geq 2 \end{aligned}$
syarat akar $f(x)\geq 0$
$\begin {aligned} f(x)&\geq 0\\ x&\geq 0 \end{aligned}$
Solusi III
$\begin {aligned} f(x)&\geq g^{2}(x)\\ x&\geq (x-2)^{2}\\ x&\geq x^{2}-4x+4\\ -x^{2}+4x+x-4&\geq 0\\ -x^{2}+5x-4&\geq 0\\ x^{2}-5x+4&\leq 0\\ (x-1)(x-4)&=0\ \ \text {(difaktorkan)}\\ x-1=0,\ x-4&=0\\ x=1,\ x&=4\\ 1\leq x&\leq 4 \end{aligned}$
sehingga himpunannya adalah $\left \{ 1\leq x\leq 4 \right \}$
Irisan dari solusi II dan solusi III digambarkan oleh
Kesimpulan dari semua himpunan di atas adalah gabungan dari solusi I dengan irisan solusi II dan solusi III, bila digambarkan dengan garis bilangan menjadi
4. Penutupan
Itulah beberapa materi dan soal berikut pembahasannya dari pertidaksamaan bentuk akar. Teruslah berlatih mencoba menemukan materi dan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal pertidaksamaan bentuk akar dari sumber-sumber yang lain. Satu catatan pada pertemuan kali ini pahami dari setiap bentuk-bentuk pertidaksamaan bentuk akar sebelum menyelesaikan soal.
Petunjuk singkat dalam berlatih pertidaksamaan bentuk akar, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan soal pertidaksamaan bentuk akar.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal pertidaksamaan bentuk akar, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Panduan Belajar Memahami Materi Pertidaksamaan Bentuk Akar Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih dahulu definisi pertidaksamaan bentuk akar
- Pahami dan hafalkan bentuk-bentuk dari pertidaksamaan bentuk akar
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal pertidaksamaan bentuk akar
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal pertidaksamaan bentuk akar yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami pertidaksamaan bentuk akar silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep pertidaksamaan bentuk akar.
Terbaru
Lebih lama
