Matematika Peminatan Kelas 12 - Limit Fungsi Trigonometri - Teman Matematik

Pengantar Dasar Kalkulus | Limit

Matematika adalah hakim agung, dari keputusan-keputusannya tidak ada bandingannya.

Tobias Dantzig

Apa yang kalian ketahui tentang limit?
Apa arti kata limit itu sendiri?

Tentu saja, perkataan limit dalam Bahasa Indonesia mempunyai arti batas, dalam hal ini misalnya seseorang berkata, "Saya mendekati batas kesabaran saya." penggunaan yang demikian dapat di artikan sebagai limit. Mempunyai makna bahwa apakah seseorang tersebut tidak sabar? tentu ini tidaklah demikian.

Maksud kalimat, "Saya mendekati batas kesabaran saya." adalah bahwa dia sudah mencoba berkali-kali sabar sampai sangat dekat dengan batas sabarnya, lalu seberapa dekatkah dengan batas kesabarannya? Tentu tidaklah kita bisa memperkirakannya karena akan sangat banyak cara mendekati batas sabar.

Contoh lain misalkan dengan ilustrasi bilangan. Ada sebuah kalimat matematika, nilai x mendekati 2. Maka ada dua kemungkinan, bisa mendekati dari sisi kiri 2 atau bisa mendekati dari sisi kanan 2 seperti berikut ini.

Pertanyaan yang sama seberapa dekat dengan 2? tentu jawabannya sangat dekat, ada berapa banyak bilangan yang mendekati 2? Tentu sangat banyak sekali bilangan tak hingga jumlahnya yang mendekati 2 dari arah kiri maupun dari arah kanan seperti tampak pada tabel. Inilah yang dinamakan dengan Konsep Limit.

Definisi sederhananya dari dengan bahasa sehari-hari. Limit merupakan sebuah konsep dalam Matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu.

Yang akan kita bahas sekarang adalah Limit Fungsi Trigonometri, tentu ini tidak lebih dari dua prasyarat untuk mempelajarinya, yaitu?

1. Limit fungsi aljabar
2. Nilai dari limit trigonometri

A. Teorema Dasar Limit Fungsi Trigonometri

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax}{ax}=1$

2.$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{\sin x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax}{\sin ax}=1$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\tan ax}{ax}=1$

4.$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{\tan x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax}{\tan ax}=1$

B. Teorema Lebih Umum dari Limit Fungsi Trigonometri

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\tan ax }{\tan bx}=\frac{a}{b}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{\tan bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\tan ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}$

Agar lebih memahami penggunaan teorema-teorema limit fungsi trigonometri, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:

a. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x}$

Kita menggunakan dua cara:
Cara yang pertama: dengan menggunakan Teorema Dasar Limit Fungsi Trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{ax} = 1$

$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{5x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{5x}\times \frac{3x}{3x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{3x}\times \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{3x}{5x}\\ \\ &=1\times \frac{3}{5}\\ \\ &=\frac{3}{5} \end{aligned}$
Sehingga nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5}$

Cara yang kedua: dengan menggunakan Teorema yang Lebih Umum dari Limit Fungsi Trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b}$

Sehingga nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{5x} = \frac{3}{5}$

b. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x}$

Untuk soal yang b) akan menggunakan Teorema Umum dari Limit Fungsi Trigonometri

$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{3 \sin 5 x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{\sin 5 x} \times \frac{1}{3}\\ \\ &=\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}\\ \\ &=\frac{2}{15} \end {aligned}$

c. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x}$

Untuk soal yang c) akan menggunakan Teorema Umum dari Limit Fungsi Trigonometri

$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 7\tan 2x }{ 4x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x \to 0 } 7 \times \frac{ \tan 2x }{ 4x}\\ \\ &= 7 \times \frac{2}{4}\\ \\ &= \frac{7}{2} \end {aligned}$

d. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x}$

Untuk soal yang d) akan menggunakan Teorema Umum dari Limit Fungsi Trigonometri

$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ 9\tan 2x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 2x }{ \tan 2x} \times \frac{1}{9}\\ \\ &=\frac{2}{2} \times \frac{1}{9}\\ \\ &=\frac{1}{9} \end {aligned}$

Contoh :
2). Tentukan nilai dari limit fungsi trigonometri berikut:

a. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x}$

Kita menggunakan dua cara:
Cara yang pertama: dengan menggunakan Teorema Dasar dari Limit Fungsi Trigonometri

$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x}\times \frac{3x}{3x}\times \frac{2x}{2x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3x }{\sin 3x}\times \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{2x}\times \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{2x}{3x}\\ \\ &=\frac{3}{3}\times \frac{2}{2}\times \frac{2}{3}\\ \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned}$

Sehingga nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3}$

Cara yang kedua: dengan menggunakan Teorema Umum dari Limit Fungsi Trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b}$

Sehingga nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 2x }{\sin 3x} = \frac{2}{3}$

b. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x}$

Untuk soal yang b) akan menggunakan Teorema umum dari Limit Fungsi Trigonometri

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 6x }{\tan 2x} = \frac{6}{2} = 3$

c. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x}$

Untuk soal yang c) akan menggunakan Teorema umum dari Limit Fungsi Trigonometri

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x }{\tan 2x} = \frac{3}{2}$

d. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x}$

Untuk soal yang d) akan menggunakan Teorema umum dari Limit Fungsi Trigonometri

$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan 4x }{\sin 8x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Sekarang sudah sedikit memahami penyelesaian materi Limit Fungsi Trigonometri bisa menggunakan dengan dua cara, yang pertama dengan menggunakan Teorema Dasar Limit Fungsi Trigonometri dan yang kedua dengan menggunakan Teorema Umum Limit Fungsi Trigonometri. Untuk itu, pahami dan hafalkan teorema dasar dan teorema umum dari limit fungsi trigonometri agar lebih mudah lagi untuk memahaminya.

untuk lebih memahami materi tentang Limit Fungsi Trigonometri silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf 



Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal Limit Fungsi Trigonometri, silahkan download juga pada link di bawah ini dalam bentuk pdf



Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Trigonometri secara mandiri

1. Berdoa sebelum memulai belajar
2. Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
3. Pahami terlebih dahulu konsep Limit Fungsi Trigonometri
4. Pahami dan hafalkan Teorema Limit Fungsi Trigonometri
5. Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
6. Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
7. Kerjakan latihan-latihan soal Limit Fungsi Trigonometri 
8. Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
9. Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal Limit Fungsi Trigonometri yang lain dari sumber internet
10. Akhiri setiap belajar dengan berdoa.

Notes: jika mengalami kendala untuk memahami Limit Fungsi Trigonometri silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.

Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep Limit Fungsi Trigonometri.

Baca Lainnya