Matematika Peminatan Kelas 10 - Bentuk Akar - Teman Matematik

Matematika Peminatan Kelas 10 | Bentuk Akar

Hal-hal yang ada di dunia ini tidak dapat diketahui tanpa pengetahuan matematika.

Roger Bacon

Pada pertemuan sebelumnya, Teman Matematik membahas tentang Eksponen, kali ini kita lanjutkan belajar Matematika Peminatan tentang $\left ( \sqrt{} \right )$ Bentuk Akar. Apakah berhubungan bentuk akar dengan eksponen? Bentuk akar merupakan salah satu contoh dari bilangan irrasional. Masih ingatkah kalian jenis bilangan irrasional?

Sebelum membahas lebih jauh tentang bentuk akar, kita bagi dulu jenis-jenis bilangan secara garis besar dalam matematika.

1. $\left \{ x\mid x=1,2,3,4,5,... \right \}$ disebut sebagai Bilangan Asli
2. $\left \{ x\mid x=0,1,2,3,4,5,... \right \}$ disebut sebagai Bilangan Cacah
3. $\left \{ x\mid x=...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... \right \}$ disebut sebagai Bilangan Bulat
4. $\left \{ x\mid x=\frac{a}{b}\right \}$ dengan $a$ Bil. Bulat dan $b\neq 0$ disebut sebagai Bilangan Rasional
5. $\left \{ x\mid x\neq \frac{a}{b}\right \}$ dengan $a$ Bil. Bulat dan $b\neq 0$ disebut sebagai Bilangan Irrasional
6. Semua bilangan dari nomor 1 sampai 5 disebut sebagai Bilangan Real

Dari definisi bilangan irrasional telihat bahwa $\left \{ x\mid x\neq \frac{a}{b}\right \}$ dengan $a$ Bil. Bulat dan $b\neq 0$ maka dengan begitu jelas bahwa bentuk akar tidak bisa dirubah menjadi bentuk pecahan.

Untuk lebih memahami lagi mari perhatikan contoh berikut, untuk memudahkan membedakan antara bentuk akar dan bukan bentuk akar.

$\large \begin{aligned} \ \ \text {1. } \sqrt{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\text {4. } \sqrt{16}\\ \\ \ \ \text {2. } \sqrt{4} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\text {5. } \sqrt{25}\\ \\ \ \ \text {3. } \sqrt{5} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\text {6. } \sqrt{30} \end{aligned}$

Dari contoh-contoh di atas, manakah yang merupakan bentuk akar dan bukan bentuk akar? Tampak secara sekilas dari nomor 1 sampai 6 semuanya adalah bentuk akar, karena semuanya memuat simbol akar $\left ( \sqrt{} \right )$. Akan tetapi bila kita melihat dengan pernyataan di atas bahwa bentuk akar merupakan salah satu contoh dari bilangan irrasional, maka kita akan melihat perbedaanya.

Untuk nomor $\left ( 2 \right )$, $\left ( 4 \right )$, dan $\left ( 5 \right )$ merupakan contoh dari bilangan bukan bentuk akar, sedangkan nomor $\left ( 1 \right )$, $\left ( 3 \right )$, dan $\left ( 6 \right )$ contoh dari bentuk akar. Mengapa bisa begitu?

Perhatikan nomor $\left ( 2 \right )$ bila kita sederhanakan $\sqrt{4}=2$ karena $2\times 2=4$ maka penarikan akar kuadrat dari $4$ adalah $2$, dan $2$ adalah jenis bilangan rasional, jadi $\sqrt{4}$ bukan bentuk akar. Alasan yang sama untuk nomor $\left ( 4 \right )$ dan $\left ( 5 \right )$. Bentuk sederhana dari $\sqrt{16}=4$ karena $4\times 4=16$ maka penarikan akar kuadrat dari $16$ adalah $4$ dan bentuk sederhana dari $\sqrt{25}=5$ karena $5\times 5=25$ maka penarikan akar kuadrat dari $25$ adalah $5$. Jadi nomor $\left ( 4 \right )$ dan $\left ( 5 \right )$ bukan bentuk akar.

Sedangkan untuk nomor $\left ( 1 \right )$, $\left ( 3 \right )$, dan $\left ( 6 \right )$ kita tidak bisa memberikan alasan yang sama dengan nomor $\left ( 2 \right )$, $\left ( 4 \right )$, dan $\left ( 5 \right )$ karena kita tidak akan bisa menemukan angka yang pas untuk hasil kuadrat $=3$ seperti nomor $\left ( 1 \right )$ begitupun untuk nomor $\left ( 3 \right )$ dan $\left ( 6 \right )$. Karena merupakan contoh dari bilangan irrasional, maka kita sebut sebagai Bentuk Akar.

Bentuk Akar
Jika $\sqrt{a}$ bukan bentuk akar, maka $\sqrt{a}$ merupakan operasi penarikan akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional, dalam hal ini berlaku: untuk $a$ dan $n$ adalah bilangan Real tak negatif atau $a$ dan $n\geq 0$, maka:

$\large \sqrt{a}=n\Rightarrow \sqrt{a^{2}}=n^{2}\Rightarrow a=n^{2}$

Sifat-Sifat Bentuk Akar
Untuk $a, b, p,$ dan $q\in R$ berlaku sifat-sifat berikut:

1. $\sqrt{a^{2}}=a$

2. $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ dengan $a,b\geq 0$

3. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ dengan $a\geq 0$ dan $b> 0$

4. $p\sqrt{a}+q\sqrt{a}=\left ( p+q \right )\sqrt{a}$ dengan $a\geq 0$

5. $p\sqrt{a}-q\sqrt{a}=\left ( p-q \right )\sqrt{a}$ dengan $a\geq 0$

6. $p\sqrt{a}\times q\sqrt{b}=pq\sqrt{a\times b}$ dengan $a,b\geq 0$

Untuk lebih memahami lagi bentuk akar dan sifat-sifatnya, perhatikan contoh di bawah ini

Contoh Soal

1. Sederhanakan bentuk akar berikut

a. $\large \sqrt{8}$

$\large \begin {aligned} \text {a. }\sqrt{8}&=\sqrt{4\times 2}\\ \\ &=\sqrt{4}\times \sqrt{2}\\ \\ &=2\sqrt{2} \end {aligned}$

b. $\large \sqrt{48}$

$\large \begin {aligned} \text {b. }\sqrt{48}&=\sqrt{16\times 3}\\ \\ &=\sqrt{16}\times \sqrt{3}\\ \\ &=4\sqrt{3} \end {aligned}$

c. $\large \sqrt{12x^{5}}$

$\large \begin {aligned} \text {c. }\sqrt{12x^{5}}&=\sqrt{4\times 3}\times \sqrt{x^{4}\times x}\\ \\ &=\sqrt{4}\times \sqrt{3}\times \sqrt{x^{4}}\times \sqrt{x}\\ \\ &=2\sqrt{3}\times x^{2}\sqrt{x}\\ \\ &=2x^{2}\sqrt{3x} \end {aligned}$

d. $\large \sqrt{a^{7}b^{4}}$

$\large \begin {aligned} \text {d. }\sqrt{a^{7}b^{4}}&=\sqrt{a^{6}\times a}\times \sqrt{b^{4}}\\ \\ &=\sqrt{a^{6}}\times \sqrt{a}\times \sqrt{b^{4}}\\ \\ &=a^{3}\sqrt{a}\times b^{2}\\ \\ &=a^{3}b^{2}\sqrt{a} \end {aligned}$

2. Sederhanakan bentuk akar berikut

a. $\large \sqrt[3]{54}$

$\large \begin {aligned} \text {a. }\sqrt[3]{54}&=\sqrt[3]{27\times 2}\\ \\ &=\sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{2}\\ \\ &=\sqrt[3]{3^{3}}\times \sqrt[3]{2}\\ \\ &=3\sqrt[3]{2} \end {aligned}$

b. $\large \sqrt[3]{32}$

$\large \begin {aligned} \text {b. }\sqrt[3]{32}&=\sqrt[3]{8\times 4}\\ \\ &=\sqrt[3]{8}\times \sqrt[3]{4}\\ \\ &=\sqrt[3]{2^{3}}\times \sqrt[3]{4}\\ \\ &=2\sqrt[3]{4} \end {aligned}$

c. $\large \sqrt[4]{a^{6}b^{9}}$

$\large \begin {aligned} \text {c. }\sqrt[4]{a^{6}b^{9}}&=\sqrt[4]{a^{4}\times a^{2}}\times \sqrt[4]{b^{8}\times b}\\ \\ &=\sqrt[4]{a^{4}}\times \sqrt[4]{a^{2}}\times \sqrt[4]{b^{8}}\times \sqrt[4]{b}\\ \\ &=a\sqrt[4]{a^{2}}\times b^{2}\sqrt[4]{b}\\ \\ &=ab^{2}\sqrt[4]{a^{2}b} \end {aligned}$

d. $\large \sqrt[4]{16a^{8}b^{3}}$

$\large \begin {aligned} \text {d. }\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}}&=\sqrt[4]{16}\times \sqrt[4]{a^{8}}\times \sqrt[4]{b^{3}}\\ \\ &=\sqrt[4]{2^{4}}\times \sqrt[4]{a^{8}}\times \sqrt[4]{b^{3}}\\ \\ &=2a^{2}\sqrt[4]{b^{3}} \end {aligned}$

3. Sederhanakan bentuk akar berikut

a. $\large 3\sqrt{2}+5\sqrt{8}-\sqrt{32}$

$\begin {aligned} \text {a. }&3\sqrt{2}+5\sqrt{8}-\sqrt{32}\\ \\ &=3\sqrt{2}+5\sqrt{4\times 2}-\sqrt{16\times 2}\\ \\ &=3\sqrt{2}+5\times \sqrt{4}\times \sqrt{2}-\sqrt{16}\times \sqrt{2}\\ \\ &=3\sqrt{2}+5\times 2\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\ \\ &=3\sqrt{2}+10\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\ \\ &=\left ( 3+10-4 \right )\sqrt{2}\\ \\ &=9\sqrt{2} \end {aligned}$

b. $\large \sqrt{32}+\sqrt{8}-\sqrt{50}-\sqrt{18}$

$\begin {aligned} \text {b. }&\sqrt{32}+\sqrt{8}-\sqrt{50}-\sqrt{18}\\ \\ &=\sqrt{16\times 2}+\sqrt{4\times 2}-\sqrt{25\times 2}-\sqrt{9\times 2}\\ \\ &=\sqrt{16}\times \sqrt{2}+\sqrt{4}\times \sqrt{2}-\sqrt{25}\\ &\times \sqrt{2}-\sqrt{9}\times \sqrt{2}\\ \\ &=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}-5\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\ \\ &=\left ( 4+2-5-3 \right )\sqrt{2}\\ \\ &=-2\sqrt{2} \end {aligned}$

c. $\large 2\sqrt{8}\times 3\sqrt{50}$

$\large \begin {aligned} \text {c. }&2\sqrt{8}\times 3\sqrt{50}\\ \\ &=2\times 3\sqrt{8\times 50}\\ \\ &=6\sqrt{400}\\ \\ &=6\times 20\\ \\ &=120 \end {aligned}$

d. $\large \left ( 2+\sqrt{2} \right )\left ( 4-\sqrt{2} \right )$

$\large \begin {aligned} \text {d. }&\left ( 2+\sqrt{2} \right )\left ( 4-\sqrt{2} \right )\\ \\ &=\left ( 2\times 4 \right )-\left ( 2\times \sqrt{2} \right )+\left ( 4\times \sqrt{2} \right )\\ &-\left ( \sqrt{2}\times \sqrt{2} \right )\\ \\ &=8-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\sqrt{4}\\ \\ &=8-2+\left ( -2+4 \right )\sqrt{2}\\ \\ &=6-2\sqrt{2} \end {aligned}$

e. $\large \left ( 4\sqrt{3}-3\sqrt{5} \right )\left ( 2\sqrt{3}+\sqrt{5} \right )$

$\large \begin {aligned} \text {e. }&\left ( 4\sqrt{3}-3\sqrt{5} \right )\left ( 2\sqrt{3}+\sqrt{5} \right )\\ \\ &=\left ( 4\sqrt{3}\times 2\sqrt{3} \right )+\left ( 4\sqrt{3}\times \sqrt{5} \right )\\ &-\left ( 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{3}\right )-\left ( 3\sqrt{5} \times \sqrt{5}\right )\\ \\ &=8\sqrt{9}+4\sqrt{15}-6\sqrt{15}-3\sqrt{25}\\ \\ &=8\times 3+\left ( 4-6 \right )\sqrt{15}-3\times 5\\ \\ &=24-2\sqrt{15}-15\\ \\ &=24-15-2\sqrt{15}\\ \\ &=9-2\sqrt{15} \end {aligned}$

Sering-seringlah berlatih menyederhanakan bentuk akar dari soal yang lain, dengan seringnya mengerjakan contoh soal, akan lebih memahami materi bentuk akar.

untuk lebih memahami materi tentang Bentuk Akar silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf 



Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal Bentuk Akar, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf



Panduan Belajar Memahami Materi Bentuk Akar secara mandiri Berdoa sebelum memulai belajar

1. Berdoa sebelum memulai belajar
2. Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
3. Pahami terlebih dahulu definisi Bentuk Akar
4. Pahami dan hafalkan sifat-sifat Bentuk Akar
5. Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
6. Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
7. Kerjakan latihan-latihan soal Bentuk Akar
8. Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
9. Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal Bentuk Akar yang lain dari sumber internet
10. Akhiri setiap belajar dengan berdoa

Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami Bentuk Akar silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.

Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep Bentuk Akar.

Baca Lainnya