Matematika Peminatan Kelas 12 | Limit Fungsi Trigonometri-2Jika saya mulai lagi studi saya, saya akan mengikuti saran dari Plato dan mulai dari matematika.Pada pembahasan yang pertama Teman Matematika membahas permulaan dari Limit Fungsi Trigonometri dan kalian telah mengenal teorema dari limit fungsi trigonometri, untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri, akan sangat berguna apabila kita telah benar-benar paham mengenai teoremanya. Karena setiap menyelesaikan soal berbentuk limit fungsi trigonometri, kita berusaha merubah sedemikian rupa, sehingga kita menemukan teorema yang pas untuk menyederhanakannya dan kita dengan mudah menentukan nilai dari limitnya.
Pada pembahasan kali ini kita akan diperlihatkan perubahan-perubahan yang setara dari nilai trigonometri, untuk kita gunakan ketika akan menyelesaikan soal bentuk limit fungsi trigonometri yang lebih beragam dan tentunya lebih kompleks dari yang sebelumnya.
Seperti halnya teorema limit fungsi trigonometri, rumus-rumus bentuk perubahan nilai trigonometri-pun alangkah lebih baiknya dipahami dan dihafalkan, untuk mempermudah kita ketika akan menyelesaikan bentuk soal yang lebih beragam dari limit fungsi trigonometri.
Materi rumus-rumus perubahan yang setara dari trigonometri sebetulnya telah kita pelajari saat kelas 11 pelajaran Matematika Peminatan, namun di sini tidak ada salahnya ketika kita pelajari lagi dan diharapkan untuk mengingatnya, agar tidak menjadi kebingungan saat menyelesaikan bentuk soal limit fungsi trigonometri.
Rumus-Rumus Trigonometri
1. Identitas Trigonometri
a. $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$
b. $1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x$
c. $1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x$
2. Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus Cosinus dan Tangen
a. $\sin \left ( A+B \right )=\sin A\cos B+\cos A\sin B$
b. $\sin \left ( A-B \right )=\sin A\cos B-\cos A\sin B$
c. $\cos \left ( A+B \right )=\cos A\cos B-\sin A\sin B$
d. $\cos \left ( A-B \right )=\cos A\cos B+\sin A\sin B$
e. $\tan \left ( A+B \right )=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$
f. $\tan \left ( A-B \right )=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$
3. Sudut Ganda
a. $\sin 2A=\sin A\cos A$
b. $\cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A$
c. $\cos 2A=2\cos ^{2}A-1$
d. $\cos 2A=1-2\sin ^{2}A$
e. $\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan ^{2}A}$
4. Sudut Rangkap Tiga
a. $\sin 3A=3\sin A-4\sin ^{3}A$
b. $\cos 3A=4\cos ^{3}A-3\cos A$
c. $\tan 3A=\frac{3\tan A-\tan ^{3}A}{1-3\tan ^{2}A}$
5. Setengah Sudut
$\begin {aligned} \text {a. }&\sin ^{2}\frac{1}{2}A&=\ \frac{1-\cos A}{2}\\ \\ &2\sin ^{2}\frac{1}{2}A&=\ 1-\cos A \end{aligned}$
$\begin {aligned} \text {b. }&\cos ^{2}\frac{1}{2}A&=\frac{1+\cos A}{2}\\ \\ &2\cos ^{2}\frac{1}{2}A&=1+\cos A \end{aligned}$
$\begin {aligned} \text {c. }&\tan ^{2}\frac{1}{2}A&=\frac{1-\cos A}{1+\cos A}\\ \\ &\tan \frac{1}{2}A&=\frac{\sin A}{1+\cos A}\\ \\ &&=\frac{1-\cos A}{\sin A} \end{aligned}$
6. Bentuk Setara dari Lanjutan Rumus Setengah Sudut
$\begin {aligned}
\text {a.}&\ 1-\cos (ax)=2\sin ^{2}\left ( \frac{a}{2} \right )x\ \ \text{atau}\\
&\cos (ax)-1=-2\sin ^{2}\left ( \frac{a}{2} \right )x\\ \\
\text {b.}&\ 1-\cos 2x=2\sin ^{2}x\ \ \text{atau}\\
&\cos 2x-1=-2\sin ^{2}x\\ \\
\text {c.}&\ 1-\cos 4x=2\sin ^{2}2x\ \ \text{atau}\\
&\cos 4x-1=-2\sin ^{2}2x\\ \\
\text {d.}&\ 1-\cos 6x=2\sin ^{2}3x\ \ \text{atau}\\
&\cos 6x-1=-2\sin ^{2}3x\\ \\
\text {e.}&\ 1-\cos 8x=2\sin ^{2}4x\ \ \text{atau}\\
&\cos 8x-1=-2\sin ^{2}4x
\end{aligned}$
7. Perkalian Trigonometri
$\text {a. }\sin A\cos B=\frac{1}{2}\left [ \sin \left ( A+B \right ) +\sin \left ( A-B \right )\right ]$
$\text {b. }\cos A\sin B=\frac{1}{2}\left [ \sin \left ( A+B \right )- \sin \left ( A-B \right )\right ]$
$\text {c. }\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left [ \cos \left ( A+B \right )+ \cos \left ( A-B \right )\right ]$
$\text {d. }\sin A\sin B=-\frac{1}{2}\left [ \cos \left ( A+B \right )- \cos \left ( A-B \right )\right ]$
8. Penjumlahan Dan Pengurangan Trigonometri
$\text {a.}\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$
$\text {b.}\sin A-\sin B=2\cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$
$\text {c.}\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$
$\text {d.}\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\sin \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$
$\text {e.}\tan A+\tan B=\frac{2\sin \left ( A+B \right )}{\cos \left ( A+B \right )+\cos \left ( A-B \right )}$
$\text {f.}\tan A-\tan B=\frac{2\sin \left ( A-B \right )}{\cos \left ( A+B \right )+\cos \left ( A-B \right )}$
Itulah kira-kira rumus-rumus bentuk perubahan nilai yang setara dari fungsi trigonometri, sebenarnya kalau kita kembangkan akan lebih banyak lagi bentuk-bentuk yang setara dari fungsi trigonometri, namun kita fokuskan saja pada bentuk-bentuk fungsi trigonometri yang pada umumnya sering kita gunakan saat bertemu dengan soal-soal limit fungsi trigonometri dengan menggunakan bentuk perubahan nilai yang setara dari fungsi trigonometri.
Pada pembahasan kita kali ini, sebelum masuk ke soal-soal limit fungsi trigonometri, langkah-langkah yang harus kita lakukan adalah:
- Substitusi nilai $x$ apakah memperoleh bilangan tak tentu $\frac{0}{0}$ atau bukan, bila memperoleh bukan bilangan tak tentu, maka hasil substitusinya merupakan nilai limit yang dicari, bila menemukan bilangan tak tentu $\frac{0}{0}$ maka:
- Cek dengan teorema dasar limit fungsi trigonometri, apakah ada yang sesuai.
- Perhatikan dari fungsi trigonometrinya, apakah mengandung fungsi Cosinus, bila mengandung fungsi Cosinus maka harus dirubah dulu menjadi bentuk Sinus dengan menggunakan bentuk perubahan setara dari trigonometri, sehingga menjadi bentuk Sinus.
- Jika sudah menjadi bentuk Sinus maka penyelesaiannya seperti langkah nomor 2.
Contoh
1. Tentukan nilai limit fungsi trigonmetri berikut
a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x\sin 2x}$
b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-2\cos 2x}{x^{2}}$
c. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x+\sin 3x}{7x}$
d. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{\sin x}$
1. Tentukan nilai limit fungsi trigonmetri berikut
a. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x\sin 2x}$
Gunakan langkah-langkah seperti yang sudah dituliskan di atas, bila kita substitusikan maka hasilnya:
$\text {a.}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin 2x}=\frac{1-\cos 0}{\sin 0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$
merupakan bilangan tak tentu $\frac{0}{0}$, lanjut ke langkah nomor 2.
Bila kita mengecek dengan teorema dasar limit, belum ada yang sesuai, maka lanjutkan ke langkah nomor 3.
Bila kita perhatikan soalnya mengandung fungsi Cosinus, maka kita rubah fungsi Cosinus menjadi fungsi Sinus dengan menggunakan rumus setengah sudut trigonmetri
$2\sin ^{2}\frac{1}{2}A=1-\cos A$
maka penyelesaiannya menjadi
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin 2x} & = \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}\frac{1}{2}x}{x\sin 2x} \\ \\ &= \displaystyle 2\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{\sin x} \end{aligned}$
dengan begitu kita akan menemukan teorema dasar limit fungsi trigonometri
$ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b} $
sehingga penyelesaian akhirnya adalah
$\begin{aligned} \displaystyle 2\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{\sin x} &= 2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \\ \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}$
$\text {a.}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin 2x}=\frac{1-\cos 0}{\sin 0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$
merupakan bilangan tak tentu $\frac{0}{0}$, lanjut ke langkah nomor 2.
Bila kita mengecek dengan teorema dasar limit, belum ada yang sesuai, maka lanjutkan ke langkah nomor 3.
Bila kita perhatikan soalnya mengandung fungsi Cosinus, maka kita rubah fungsi Cosinus menjadi fungsi Sinus dengan menggunakan rumus setengah sudut trigonmetri
$2\sin ^{2}\frac{1}{2}A=1-\cos A$
maka penyelesaiannya menjadi
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin 2x} & = \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}\frac{1}{2}x}{x\sin 2x} \\ \\ &= \displaystyle 2\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{\sin x} \end{aligned}$
dengan begitu kita akan menemukan teorema dasar limit fungsi trigonometri
$ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b} $
sehingga penyelesaian akhirnya adalah
$\begin{aligned} \displaystyle 2\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{1}{2}x}{\sin x} &= 2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \\ \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}$
b. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2-2\cos 2x}{x^{2}}$
Untuk soal $(b)$ kira-kira penyelesaiannya seperti yang $(a)$
$\begin{aligned}
\text {b.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2-2\cos 2x}{x^{2}}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\left ( 1-\cos 2x \right )}{x^{2}} \\ \\
&\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}x}{x^{2}} \\ \\
&\displaystyle=2\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \\ \\
&=2\times 1\times 1 \\ \\
&=2
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\text {b.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2-2\cos 2x}{x^{2}}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\left ( 1-\cos 2x \right )}{x^{2}} \\ \\
&\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}x}{x^{2}} \\ \\
&\displaystyle=2\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \\ \\
&=2\times 1\times 1 \\ \\
&=2
\end{aligned}$
c. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{4x+\sin 3x}{7x}$
Untuk soal $(c)$ kita akan menggunakan teorema limit fungsi trigonometri, tanpa merubah terlebih dahulu bentuk fungsi trigonometrinya, dengan teorema $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$
$\begin{aligned}
\text {c.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4x+\sin 3x}{7x}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4x}{7x}+ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{7x} \\ \\
&=\frac{4}{7}+\frac{3}{7} \\ \\
&=\frac{7}{7} \\ \\
&=1
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
\text {c.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4x+\sin 3x}{7x}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{4x}{7x}+ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{7x} \\ \\
&=\frac{4}{7}+\frac{3}{7} \\ \\
&=\frac{7}{7} \\ \\
&=1
\end{aligned}$
d. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{\sin x}$
Untuk soal $(d)$ kita substitusikan bilangan $x$ mendekati
$\frac{\pi}{2}$ maka di dapatkan nilainya adalah
$\begin{aligned}
\text {d.}\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{\sin x}&=\frac{1+\cos 2(\frac{\pi}{2})}{\sin \frac{\pi}{2}} \\ \\
&=\frac{1+\cos \pi}{\sin \frac{\pi}{2}} \\ \\
&=\frac{1+(-1)}{1} \\ \\
&=\frac{0}{1} \\ \\
&=0
\end{aligned}$
Didapatkan $\frac{0}{1}=0$ maka tanpa kita merubah fungsi trigonometrinya kita telah mendapatkan nilai dari limitnya, karena $0$ bukan bilangan tak tentu. Jadi nilai limitnya adalah $0$.
$\begin{aligned}
\text {d.}\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{\sin x}&=\frac{1+\cos 2(\frac{\pi}{2})}{\sin \frac{\pi}{2}} \\ \\
&=\frac{1+\cos \pi}{\sin \frac{\pi}{2}} \\ \\
&=\frac{1+(-1)}{1} \\ \\
&=\frac{0}{1} \\ \\
&=0
\end{aligned}$
Didapatkan $\frac{0}{1}=0$ maka tanpa kita merubah fungsi trigonometrinya kita telah mendapatkan nilai dari limitnya, karena $0$ bukan bilangan tak tentu. Jadi nilai limitnya adalah $0$.
2. Tentukan nilai limit fungsi trigonmetri berikut
$\text {a.}\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{(4x-8)}$
$\text {b.}\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\tan ^{2}(2x-6)}{(3x-9)^{2}}$
$\text {c.}\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 6x+\sin 2x}{\cos 5x+\cos x}$
$\text {d.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 6x}{\cos 8x-1}$
$\text {a.}\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{(4x-8)}$
Untuk soal $(a)$ kita akan merubah dengan memisalkan jika $p=x-a$ maka untuk nilai $x$ mendekati $a$ diperoleh nilai $p$ mendekati $0$, sehingga:
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{(4x-8)}=\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{4(x-2)}$
kita misalkan $p=x-2$ maka diperoleh nilai $p=0$, karena $x$ mendekati $2$ maka $p$ mendekati $0$, sehingga:
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{4(x-2)}&=\displaystyle \lim_{p\to 0}\frac{3\sin p}{4p} \\ \\
&=3\times \frac{1}{4} \\ \\
&=\frac{3}{4}
\end{aligned}$
$\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{(4x-8)}=\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{4(x-2)}$
kita misalkan $p=x-2$ maka diperoleh nilai $p=0$, karena $x$ mendekati $2$ maka $p$ mendekati $0$, sehingga:
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{3\sin (x-2)}{4(x-2)}&=\displaystyle \lim_{p\to 0}\frac{3\sin p}{4p} \\ \\
&=3\times \frac{1}{4} \\ \\
&=\frac{3}{4}
\end{aligned}$
$\text {b.}\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\tan ^{2}(2x-6)}{(3x-9)^{2}}$
Untuk soal $(b)$ penyelesaiannya sama seperti soal $(a)$, sehingga:
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\tan ^{2}(2x-6)}{(3x-9)^{2}}=\displaystyle \lim_{x\to 3}\left ( \frac{\tan 2(x-3)}{3(x-3)} \right )^{2}$
kita misalkan $p=x-3$ maka diperoleh nilai $p=0$, karena $x$ mendekati $3$ maka $p$ mendekati $0$, sehingga:
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\left ( \frac{\tan 2(x-3)}{3(x-3)} \right )^{2}$
$\begin {aligned}
&=\displaystyle \lim_{p\to 0}\left ( \frac{\tan 2p}{3p} \right )^{2} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{p\to 0}\left ( \frac{\tan 2p}{3p} \right )\times \displaystyle \lim_{p\to 0}\left ( \frac{\tan 2p}{3p} \right ) \\ \\
&=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3} \\ \\
&=\frac{4}{3}
\end{aligned}$
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\tan ^{2}(2x-6)}{(3x-9)^{2}}=\displaystyle \lim_{x\to 3}\left ( \frac{\tan 2(x-3)}{3(x-3)} \right )^{2}$
kita misalkan $p=x-3$ maka diperoleh nilai $p=0$, karena $x$ mendekati $3$ maka $p$ mendekati $0$, sehingga:
$\displaystyle \lim_{x\to 3}\left ( \frac{\tan 2(x-3)}{3(x-3)} \right )^{2}$
$\begin {aligned}
&=\displaystyle \lim_{p\to 0}\left ( \frac{\tan 2p}{3p} \right )^{2} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{p\to 0}\left ( \frac{\tan 2p}{3p} \right )\times \displaystyle \lim_{p\to 0}\left ( \frac{\tan 2p}{3p} \right ) \\ \\
&=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3} \\ \\
&=\frac{4}{3}
\end{aligned}$
$\text {c.}\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 6x+\sin 2x}{\cos 5x+\cos x}$
Untuk soal $(c)$ kita menggunakan rumus penjumlahan dari Sinus $\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$ dan Cosinus $\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$, sehingga
$\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 6x+\sin 2x}{\cos 5x+\cos x}$
$\begin {aligned}
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin \frac{1}{2}(6x+2x)\cos \frac{1}{2}(6x-2x)}{2\cos \frac{1}{2}(6x+2x)\cos \frac{1}{2}(6x-2x)} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin \frac{1}{2}(8x)\cos \frac{1}{2}(4x)}{2\cos \frac{1}{2}(8x)\cos \frac{1}{2}(4x)} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin 4x\cos 2x}{2\cos 2x\cos 2x} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 4x}{\cos 2x} \\ \\
&=\frac{\sin 4\left ( \frac{\pi}{2} \right )}{\cos 2\left ( \frac{\pi}{2} \right )} \\ \\
&=\frac{\sin 2\pi}{\cos \pi} \\ \\
&=\frac{0}{-1} \\ \\
&=0
\end{aligned}$
$\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 6x+\sin 2x}{\cos 5x+\cos x}$
$\begin {aligned}
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin \frac{1}{2}(6x+2x)\cos \frac{1}{2}(6x-2x)}{2\cos \frac{1}{2}(6x+2x)\cos \frac{1}{2}(6x-2x)} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin \frac{1}{2}(8x)\cos \frac{1}{2}(4x)}{2\cos \frac{1}{2}(8x)\cos \frac{1}{2}(4x)} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{2\sin 4x\cos 2x}{2\cos 2x\cos 2x} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\frac{\sin 4x}{\cos 2x} \\ \\
&=\frac{\sin 4\left ( \frac{\pi}{2} \right )}{\cos 2\left ( \frac{\pi}{2} \right )} \\ \\
&=\frac{\sin 2\pi}{\cos \pi} \\ \\
&=\frac{0}{-1} \\ \\
&=0
\end{aligned}$
$\text {d.}\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 6x}{\cos 8x-1}$
Untuk soal $(d)$ penyelesaiannya mengubah fungsi Cosinus dengan bentuk yang setara dari rumus setengah sudut trigonometri $2\sin ^{2}\frac{1}{2}A=1-\cos A$. Kita akan membandingkan bentuk yang setara lainnya dari rumus setengah sudut
$2\sin ^{2}\frac{1}{2}A=1-\cos A$
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}A=1-\cos 2A $
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}2A=1-\cos 4A $
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}3A=1-\cos 6A$
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}4A=1-\cos 8A$
dan seterusnya kita bisa kembangkan lagi dari rumus setengah sudut trigonometri, dengan perbandingan yang setara lainnya, sehingga bila kita terapkan pada soal $(d)$ maka
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 6x}{\cos 8x-1}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 6x}{-(1-\cos 8x)} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}3x}{-2\sin ^{2}4x} \\ \\
&=-\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 4x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 4x} \\ \\
&=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \\ \\
&=-\frac{9}{16}
\end{aligned}$
$2\sin ^{2}\frac{1}{2}A=1-\cos A$
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}A=1-\cos 2A $
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}2A=1-\cos 4A $
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}3A=1-\cos 6A$
$\Leftrightarrow 2\sin ^{2}4A=1-\cos 8A$
dan seterusnya kita bisa kembangkan lagi dari rumus setengah sudut trigonometri, dengan perbandingan yang setara lainnya, sehingga bila kita terapkan pada soal $(d)$ maka
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 6x}{\cos 8x-1}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 6x}{-(1-\cos 8x)} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}3x}{-2\sin ^{2}4x} \\ \\
&=-\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 4x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 4x} \\ \\
&=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{4} \\ \\
&=-\frac{9}{16}
\end{aligned}$
3. Tentukan nilai dari setiap limit fungsi trigonmetri berikut
$\text {a. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x\sin 3x}{4x}$
$\text {b. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{\sin x+\sin x}$
$\text {c. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan ^{2}x}{\sec ^{2}x-1}$
$\text {d. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 8x}{\sin 2x\tan 4x}$
Itu adalah beberapa penjelasan yang singkat dari materi dan contoh-contoh soal yang telah kita selesaikan, sedikit rumit untuk menyelesaikan bentuk soal limit fungsi trigonometri apabila kita tidak benar-benar memahami dari bentuk-bentuk perubahan yang setara dari fungsi trigonometrinya. Oleh karena itu, alangkah lebih baik lagi apabila kita memahami dan menghafalkan dari rumus-rumus perubahan fungsi trigonometri, untuk membantu kita menyelesaikan dari soal-soal limit fungsi trigonometri.
Sering-seringlah berlatih menyederhanakan bentuk fungsi trigonometri lainnya dan soal yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dari sumber yang lain, dengan seringnya mengerjakan contoh soal, akan lebih memahami materi limit fungsi trigonometri.
untuk lebih memahami materi tentang limit fungsi trigonometri silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf. Materi pdf masih sama dengan pertemuan yang sebelumnya.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi trigonometri pertemuan kedua, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf
Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Trigonometri secara mandiri
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi trigonometri.
$\text {a. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x\sin 3x}{4x}$
Untuk soal $(a)$ bila kita substitusikannya, hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac {0}{0}$ maka kita menggunakan rumus perkalian trigonometri $\cos A\sin B=\frac{1}{2}\left [ \sin \left ( A+B \right )- \sin \left ( A-B \right )\right ]$ untuk menyelesaikannya, menjadi:
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x\sin 3x}{4x}$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}\left [ \sin \left ( 5x+3x \right )- \sin \left ( 5x-3x \right )\right ]}{4x}$
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2(4x)}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x-\sin 2x}{8x}\\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x}{8x}-\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{8x} \\
&=1-\frac{2}{8} \\
&=\frac{3}{4}
\end{aligned}$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x\sin 3x}{4x}$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}\left [ \sin \left ( 5x+3x \right )- \sin \left ( 5x-3x \right )\right ]}{4x}$
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2(4x)}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x-\sin 2x}{8x}\\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 8x}{8x}-\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{8x} \\
&=1-\frac{2}{8} \\
&=\frac{3}{4}
\end{aligned}$
$\text {b. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{\sin x+\sin x}$
Untuk soal $(b)$ bila kita substitusikannya memperoleh bilangan tak tentu $\frac {0}{0}$, maka bagian penyebut kita rubah dulu menggunakan rumus penjumlahan trigonometri $\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}\left ( A+B \right )\cos \frac{1}{2}\left ( A-B \right )$, sehingga:
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{\sin x+\sin x}$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{\sin \frac{1}{2}(x+x)\cos \frac{1}{2}(x-x)}$
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin \frac{1}{2}(2x)\cos \frac{1}{2}(0)}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin x\cos 0} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin x\times 1} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin x} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x}{2} \\ \\
&=\frac{2(0)}{2} \\ \\
&=\frac {0}{2} \\ \\
&=
\end{aligned}$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{\sin x+\sin x}$
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{\sin \frac{1}{2}(x+x)\cos \frac{1}{2}(x-x)}$
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin \frac{1}{2}(2x)\cos \frac{1}{2}(0)}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin x\cos 0} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin x\times 1} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x}{2\sin x} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2x}{2} \\ \\
&=\frac{2(0)}{2} \\ \\
&=\frac {0}{2} \\ \\
&=
\end{aligned}$
$\text {c. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan ^{2}x}{\sec ^{2}x-1}$
Untuk soal $(c)$ juga sama bila kita substitusikan menghasilkan bilangan tak tentu $\frac {0}{0}$ maka untuk menyederhanakannya dengan rumus identitas trigonometri $1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x\Leftrightarrow \tan ^{2}x=\sec ^{2}x-1$, sehingga:
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan ^{2}x}{\sec ^{2}x-1}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan ^{2}x}{\tan ^{2}x} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}1 \\ \\
&=1
\end{aligned}$
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan ^{2}x}{\sec ^{2}x-1}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan ^{2}x}{\tan ^{2}x} \\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to 0}1 \\ \\
&=1
\end{aligned}$
$\text {d. }\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 8x}{\sin 2x\tan 4x}$
Untuk soal $(d)$ pun sama hasil substitusinya adalah bilangan tak tentu $\frac {0}{0}$ maka langkah penyederhanaannya dengan merubah bentuk fungsi trigonometri yang memuat fungsi Cosinus, dalam hal ini pembilangnya memuat fungsi Cosinus, maka pembilangnya kita rubah dengan menggunakan rumus setengah sudut dengan perbandingan yang setara seperti yang telah di jelaskan di atas. Sehingga penyelesaiannya:
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 8x}{\sin 2x\tan 4x}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}4x}{\sin 2x\tan 4x} \\ \\
&=2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin 2x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\tan 4x} \\ \\
&=2\times \frac{4}{2}\times \frac{4}{4} \\ \\
&=4
\end{aligned}$
$\begin {aligned}
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 8x}{\sin 2x\tan 4x}&=\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2\sin ^{2}4x}{\sin 2x\tan 4x} \\ \\
&=2\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\sin 2x}\times \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\tan 4x} \\ \\
&=2\times \frac{4}{2}\times \frac{4}{4} \\ \\
&=4
\end{aligned}$
Itu adalah beberapa penjelasan yang singkat dari materi dan contoh-contoh soal yang telah kita selesaikan, sedikit rumit untuk menyelesaikan bentuk soal limit fungsi trigonometri apabila kita tidak benar-benar memahami dari bentuk-bentuk perubahan yang setara dari fungsi trigonometrinya. Oleh karena itu, alangkah lebih baik lagi apabila kita memahami dan menghafalkan dari rumus-rumus perubahan fungsi trigonometri, untuk membantu kita menyelesaikan dari soal-soal limit fungsi trigonometri.
Sering-seringlah berlatih menyederhanakan bentuk fungsi trigonometri lainnya dan soal yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri dari sumber yang lain, dengan seringnya mengerjakan contoh soal, akan lebih memahami materi limit fungsi trigonometri.
untuk lebih memahami materi tentang limit fungsi trigonometri silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf. Materi pdf masih sama dengan pertemuan yang sebelumnya.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi trigonometri pertemuan kedua, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf
Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Trigonometri secara mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih dahulu definisi limit fungsi trigonometri
- Pahami dan hafalkan sifat-sifat limit fungsi trigonometri
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal limit fungsi trigonometri
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal limit fungsi trigonometri yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi trigonometri.
