Matematika Peminatan Kelas 12 - Limit Fungsi Ketakhinggaan - 2

Matematika Peminatan Kelas 12 | Limit Fungsi Ketakhinggaan - 2

Matematika mengekspresikan nilai-nilai yang mencerminkan dari alam semesta, termasuk ketertiban, keseimbangan, harmoni, logika, dan keindahan abstrak.
Deepak Chopra

1. Pendahuluan

Tak hingga adalah sebuah konsep tentang sesuatu yang tidak terbatas, tanpa akhir, atau tanpa batas. Penggunaan tak hingga dalam matematika yang lebih langsung muncul dengan upaya untuk membandingkan ukuran himpunan tak hingga banyaknya, hal yang sederhana seperti misalnya kita membayangkan ada berapa banyak bilangan yang terletak antara 1 dan 2? Ada banyak bilangan tak hingga jumlahnya yang terletak antara 1 dan 2, dan bilangan yang terletak diantara 1 dan 2 bila kita mencacahnya satu per satu maka tidak akan berakhir atau tanpa batas dalam mencacahnya, demikianlah yang disebut sebagai tak hingga dalam gambaran sederhana yang kita mengetahuinya namun tanpa kita sadari.

Konsep tak hingga jika dipadukan dengan limit seolah-olah menjadi lebih sederhana dan menjadi lebih mudah untuk dipahaminya. Pada pembahasan kita kali ini melanjukan dari pembahasan yang sebelumnya, bahasan terakhir kita sampai pada menentukan nilai limit tak hingga bentuk pecahan yang jika di substitusikan secara langsung akan memperoleh bentuk tak tentu $\frac {\infty}{\infty}$.

Satu langkah yang mempermudah kita dalam menentukan nilai dari sebuah limit tak hingga bentuk pecahan, agar kita tidak terlalu bersusah payah dalam menyederhanakannya. Untuk fungsi bentuk pecahan $\frac {f(x)}{g(x)}$, dengan $a_{m}x^{m}$ dan $p_{n}x^{n}$ adalah suku pada pembilang $f(x)$ dan penyebut $g(x)$ dengan pangkat $x$ tertinggi, maka berlaku

$\small \begin {aligned} \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{0}}{p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_{0}}=L \end{aligned}\\ \\$ $L=\begin{cases} \frac{a_{m}}{p_{n}} & \text{jika } m=n \\ \infty & \text{jika } m>n \\ 0 & \text{jika } m<n \end{cases}$

Jika $a$ dan $p$ bertanda sama-sama negatif atau sama-sama positif maka $L$ bernilai positif, jika berlainan tanda maka $L$ bernilai negatif. Dengan artian untuk limit menuju tak hingga bentuk pecahan $\frac {f(x)}{g(x)}$ kita fokuskan mencari pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya saja, untuk kita terapkan pada langkah di atas.

2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Tak Hingga Bentuk $\displaystyle \lim_{x\to\infty}[f(x)-g(x)]$

Untuk menentukan bentuk limit $\displaystyle \lim_{x\to\infty}[f(x)-g(x)]$ kebanyakan berupa akar dikurang akar, kalaupun bukan berupa akar, kita buat bentuk yang setara sedemikian sehingga terdapat bentuk akar. Penyelesaiannya dengan cara mengalikan dengan yang sekawan dari bentuk akarnya, langkah-langkahnya lumayan panjang dan membuat pusing, untuk itu kita disini hanya akan membahas cara dan langkah sederhana dalam menyelesaikan limit fungsi tak hingga, sama halnya dengan bagian yang sebelumnya. Namun ada hal yang perlu di ingat baik-baik sebelum menerapkannya dalam penyelesaian, yaitu:

limitnya harus $\displaystyle \lim_{x\to\infty}$
bentuknya harus $[f(x)-g(x)]=$ akar dikurang akar atau fungsi dalam bentuk akar
hasil substitusi limit dalam bentuk tak tentu

Jika kita mengingat-ingat hal di atas dengan baik, maka penyelesaiannya bisa langsung dengan menggunakan cara di bawah ini

$\small \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt{ax^{2}+bx+c}\ -\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=L\\ \\$ $L=\begin{cases} \displaystyle \frac{b-q}{2\sqrt{a}} & \text{jika } a=p \\ \infty & \text{jika } a>p\\ -\infty & \text{jika } a<p \end{cases}$

untuk nilai $a=p=0$ maka nilai $L$
$L=\begin{cases} 0 & \text{ jika } b=q \\ \infty & \text{ jika } b>q \\ -\infty & \text{ jika } b<q \end{cases}$

Untuk lebih memahami lagi cara penggunaan pada soal dengan dua langkah sederhana yang telah di palajari baru saja, perhatikan contoh soal.

3. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hitunglah nilai limit berikut

a. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x+2)}{2x^{2}-8}$

Pada bagian pembilang kita masih bisa sederhanakan dengan cara mengalikannya

$\begin {aligned}
(x-1)(x+2)&=x^{2}+2x-x-2\\
&=x^{2}+x-2
\end{aligned}$

Sehingga bila kita terapkan pada limit menjadi

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)(x+2)}{2x^{2}-8}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x-2}{2x^{2}-8}
\end{aligned}$

sampai langkah ini kita fokuskan mencari pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, didapatkan

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{2x^{2}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2}\\ \\
&=\frac{1}{2}
\end{aligned}$

b. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-5x+7}{x(2x+2)}$

Pada bagian penyebut kita masih bisa sederhanakan dengan cara mengalikannya

$x(2x+2)=2x^{2}+2x$

Sehingga bila kita terapkan pada limit menjadi

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-5x+7}{x(2x+2)}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-5x+7}{2x^{2}+2x}
\end{aligned}$

sampai langkah ini kita fokuskan mencari pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, didapatkan

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{2x^{2}}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{2}\\ \\
&=\infty
\end{aligned}$

c. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x^{2}-x)(x-1)}{x(-x^{3}+3x^{2}-2)}$

Pada bagian pembilang dan penyebut kita masih bisa sederhanakan dengan cara mengalikannya

$\begin {aligned} &(2x^{2}-x)(x-1)\\ &=2x^{3}-2x^{2}-x^{2}+x\\ &=2x^{3}-3x^{2}+x&\text {(pembilang)}\\ \\ &x(-x^{3}+3x^{2}-2)\\ &=-x^{4}+3x^{3}-2x&\text {(penyebut)} \end{aligned}$

Sehingga bila kita terapkan pada limit menjadi

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(2x^{2}-x)(x-1)}{x(-x^{3}+3x^{2}-2)}\\ \\
&=\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}-3x^{2}+x}{-x^{4}+3x^{3}-2x}
\end{aligned}$

sampai langkah ini kita fokuskan mencari pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, didapatkan

$\begin {aligned}
&\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}}{-x^{4}}\\ \\
&=-\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}\\ \\
&=-\infty
\end{aligned}$

2. Hitunglah nilai limit berikut

a. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x+3}{\sqrt{x+1}}$

pada pembahasan kali ini kita tidak mengurai seperti sebelumnya, namun kita fokuskan pada penyelesaian sederhana, cukup dengan memperhatikan pangkat variabel tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, pada soal terlihat pangkat tertinggi variabel pembilang adalah $x$ artinya pangkat 1, dan pada pangkat tertinggi variabel penyebutnya adalah $\sqrt x$ artinya $x^{\frac {1}{2}}$ pangkat $\frac{1}{2}$. Maka variabel pangkat tertinggi pembilang lebih dari variabel pangkat tertinggi penyebut
pada langkah sederhana diketahui

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a_{m}x^{m}}{p_{n}x^{n}}=\infty\ \text {jika }m>n$

maka $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x+3}{\sqrt{x+1}}=\infty$

b. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{2-x}$

pada pembahasan kali ini kita tidak mengurai seperti sebelumnya, namun kita fokuskan pada penyelesaian sederhana, cukup dengan memperhatikan pangkat variabel tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, pada soal terlihat pangkat tertinggi variabel pembilang adalah $\sqrt x$ artinya $x^{\frac {1}{2}}$ pangkat $\frac{1}{2}$, dan pada pangkat tertinggi variabel penyebutnya adalah $-x$ artinya pangkat 1. Maka variabel pangkat tertinggi pembilang kurang dari variabel pangkat tertinggi penyebut
pada langkah sederhana diketahui

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a_{m}x^{m}}{p_{n}x^{n}}=0\ \text {jika }m<n$

maka $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x-3}}{2-x}=0$

c. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}+3x}}$

pada pembahasan kali ini kita tidak mengurai seperti sebelumnya, namun kita fokuskan pada penyelesaian sederhana, cukup dengan memperhatikan pangkat variabel tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, pada soal terlihat pangkat tertinggi variabel pembilang adalah $x$ artinya pangkat 1, dan pada pangkat tertinggi variabel penyebutnya adalah $\sqrt {x^{2}}=x$ artinya pangkat 1. Maka variabel pangkat tertinggi pembilang sama dengan variabel pangkat tertinggi penyebut
pada langkah sederhana diketahui

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a_{m}x^{m}}{p_{n}x^{n}}=\frac{a}{p}\ \ \ \text {jika }m=n$. Maka

$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{\sqrt{2x^{2}+3x}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{2}}&\text {(rasionalkan)}\\ &=\frac{2}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{2\sqrt{2}}{2}\\ &=\sqrt{2} \end{aligned}$

3. Carilah nilai dari limit fungsi berikut

a. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \sqrt{2x^{2}+3x} -\sqrt{2x^{2}-5}\right )$