Matematika Peminatan Kelas 10 | Persamaan EksponenMatematika adalah tempat dimana Anda dapat melakukan hal-hal yang tidak dapat Anda lakukan di dunia nyata.
1. Pendahuluan
Permasalahan persamaan dalam matematika sering dibuat untuk mencari nilai dari suatu variabel atau peubah yang disimbolkan umumnya dengan $a,b,c,x,y,z$ ataupun simbol lain dari variabel. Suatu permasalahan dibutuhkan bentuk persamaan untuk menyederhanakannya, contoh segelas kopi kira-kira mengandung 256 mg kafein, jika kita meminum segelas kopi maka kafein akan diserap oleh tubuh dalam darah dan akhirnya dimetabolisme oleh tubuh kita. Jika setiap 5 jam, banyak kafein dalam darah berkurang 50%, maka berapa lama kafein dalam darah hanya tersisa 1 mg?
Pada contoh permasalahan di atas banyak kafein yang diserap oleh tubuh adalah salah satu contoh yang bisa kita jadian bentuk persamaan matematika, tanpa kita membuat persamaan-pun sebenarnya bisa saja kita menyelesaikan berapa lama kafein dalam darah hanya tersisa 1 mg. Kita bisa mengurutkannya satu persatu kemungkinan yang telah kita ketahui dalam contoh permasalahan, namun dengan menerapkan bentuk persamaan matematika, kita bisa dengan mudah mencari sesuatu hal yang kita cari tanpa kita mengurutkannya satu per satu. Apabila kita menjawab contoh permasalahan di atas dengan 2 cara. Cara yang pertama tanpa persamaan, dan yang kedua dengan menggunakan persamaan, maka.
$\begin {aligned} \text {Dik: }A_{0}&=256\text { mg}\\ &=\text {5 jam}\rightarrow \text {50 %}\\ &=\text {5 jam}\rightarrow \frac{1}{2}\\ \text {Dit: }\text {t}&= 1\text { mg?} \end{aligned}$
Cara 1 mengurutkan
$\begin {aligned} 256\text { mg}&=0 \text { jam}\rightarrow &t=0\\ 128\text { mg}&=5 \text { jam}\rightarrow &t=1\\ 64\text { mg}&=10 \text { jam}\rightarrow &t=2\\ 32\text { mg}&=15 \text { jam}\rightarrow &t=3\\ 16\text { mg}&=20 \text { jam}\rightarrow &t=4\\ 8\text { mg}&=25 \text { jam}\rightarrow &t=5\\ 4\text { mg}&=30 \text { jam}\rightarrow &t=6\\ 2\text { mg}&=35 \text { jam}\rightarrow &t=7\\ 1\text { mg}&=40 \text { jam}\rightarrow &t=8 \end{aligned}$
Jadi lamanya waktu kafein dalam darah tersisa 1 mg adalah 40 jam
Cara 2 Persamaan
$\begin {aligned} A_{t}&=A_{0}\cdot B^{t}\\ 1&=256\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{t}\\ \frac{1}{256}&=\left ( \frac{1}{2} \right )^{t}\\ \left ( \frac{1}{2} \right )^{8}&=\left ( \frac{1}{2} \right )^{t}\\ 8&=t\\ t&=8 \end{aligned}$
Jadi lamanya waktu kafein dalam darah tersisa 1 mg adalah $t=8\times 5 \text { jam}=$ 40 jam
Dari kedua cara menyelesaikan contoh permasalahan di atas nilai akhir yang diperoleh adalah sama yakni 40 jam, namun ditempuh dengan dua cara yang berbeda. Bila kita perhatikan dengan seksama pada cara kedua atau dengan persamaan, lebih sederhana daripada dengan cara mengurutkan. Untuk contoh permasalahan yang sekarang mungkin tidak terlalu terlihat kesulitan dan langkah yang begitu panjang, namun bagaimana bila jumlah kafeinnya kita tingkatkan mula-mula sebesar 33.554.432 mg atau bahkan lebih besar lagi dari itu, maka kita akan kewalahan untuk menyelesaikan dengan cara yang pertama, namun dengan cara kedua kita akan tetap sederhana dalam menyelesaikannya.
Sedikit gambaran tentang materi yang akan kita pelajari sekarang tentang persamaan eksponen, pada contoh di atas adalah salah satu materi persamaan eksponen. Jadi, dalam persamaan eksponen itu, bisa pangkatnya yang mengandung variabel seperti contoh di atas pada cara kedua atau bisa juga bilangan pokoknya yang mengandung variabel. Variabel ini dilambangkan dengan huruf, bisa dari a sampai dengan z. Tapi, pada umumnya, lambang variabel yang sering digunakan seperti yang telah dijelaskan di atas. Bagaimana? Sekarang, sudah kebayang kan bentuk persamaan eksponen itu seperti apa?
2. Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponen
a. Persamaan eksponen bentuk-bentuk umum
$\small \begin {aligned}
&\text {1. }a^{f(x)}=1\rightarrow f(x)=0,a> 0,a\neq 1\\
&\text {2. }a^{f(x)}=a^{b}\rightarrow f(x)=b,a> 0,a\neq 1\\
&\text {3. }a^{f(x)}=a^{g(x)}\rightarrow f(x)=g(x),a> 0,a\neq 1\\
&\text {4. }a^{f(x)}=b^{f(x)}\rightarrow f(x)=0,a,b> 0,a,b\neq 1\\
&\text {5. }a^{f(x)}=b^{g(x)}\rightarrow \log a^{f(x)}=\log b^{g(x)},a,b> 0,a,b\neq 1\\
\end{aligned}$
$\small \begin {aligned} &\text {6. }f(x)^{g(x)}=1\text { maka:}\\ &\begin{cases} f(x)=1\\ f(x)=-1 & \text{syarat } g(x)\text { genap} \\ g(x)=0 & \text{syarat } f(x)\neq 0 \end{cases}\\ \\ &\text {7. }f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}\text { maka:}\\ &\begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)=-g(x) & \text{syarat } h(x)\text { genap} \\ h(x)=0 & \text{syarat } f(x),g(x)\neq 0 \end{cases}\\ \\ &\text {8. }f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}\text { maka:}\\ &\begin{cases} g(x)=h(x)\\ f(x)=1\\ f(x)=-1 & \text{syarat } g(x),h(x)\text { genap/ganjil} \\ f(x)=0 & \text{syarat } g(x,)h(x)\text { positif} \end{cases}\\ \end{aligned}$
b. Persamaan eksponen bentuk $p\cdot \left ( a^{x} \right )^{2}+q\cdot (a^{x})+r=0$
$\small \begin {aligned} &\text {6. }f(x)^{g(x)}=1\text { maka:}\\ &\begin{cases} f(x)=1\\ f(x)=-1 & \text{syarat } g(x)\text { genap} \\ g(x)=0 & \text{syarat } f(x)\neq 0 \end{cases}\\ \\ &\text {7. }f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}\text { maka:}\\ &\begin{cases} f(x)=g(x)\\ f(x)=-g(x) & \text{syarat } h(x)\text { genap} \\ h(x)=0 & \text{syarat } f(x),g(x)\neq 0 \end{cases}\\ \\ &\text {8. }f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}\text { maka:}\\ &\begin{cases} g(x)=h(x)\\ f(x)=1\\ f(x)=-1 & \text{syarat } g(x),h(x)\text { genap/ganjil} \\ f(x)=0 & \text{syarat } g(x,)h(x)\text { positif} \end{cases}\\ \end{aligned}$
Langkah penyelesaiannya perhatikan $\left ( a^{x} \right )^{2}$ sehingga jika kita memisalkan $a^{x}=u> 0$ maka $\left ( a^{x} \right )^{2}=u^{2}$ kita substitusikan ke persamaan semula $p\cdot \left ( a^{x} \right )^{2}+q\cdot (a^{x})+r=0$ memberikan $p\cdot u^{2}+q\cdot u+r=0$, yaitu persamaan kuadrat dalam variabel $u$ yang bisa kita faktorkan untuk memperoleh nilai $u$. Perhatikan juga bahwa nilai $u$ haruslah positif. Jika $u$ sudah diperoleh nilainya, maka kita substitusikan kembali $u$ ke persamaan pemisalan sebelumnya $a^{x}=u> 0$ maka kita bisa dapatkan nilai $x$ yang diminta.
Untuk lebih memahami lagi cara penggunaan pada soal dengan langkah penyelesaian di atas, perhatikan contoh soal berikut.
3. Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan nilai $x$ dari persamaan berikuta. $3^{2x+1}=1$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 1) $a^{f(x)}=1\rightarrow f(x)=0,a> 0,a\neq 1$, sebelum menyelesaikan soal perhatikan syaratnya harus terpenuhi dulu yaitu $a> 0$ sudah sesuai $3> 0$ dan $a\neq 1$ sudah sesuai $3\neq 1$ maka:
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=1\rightarrow &f(x)&=0\\ 3^{2x+1}&=1\rightarrow &2x+1&=0\\ &&2x&=-1\\ &&x&=-\frac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi nilai $x=-\frac{1}{2}$
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=1\rightarrow &f(x)&=0\\ 3^{2x+1}&=1\rightarrow &2x+1&=0\\ &&2x&=-1\\ &&x&=-\frac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi nilai $x=-\frac{1}{2}$
b. $2^{x^{2}-3x}=16$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 2) $a^{f(x)}=a^{b}\rightarrow f(x)=b,a> 0,a\neq 1$, sebelum menyelesaikan soal perhatikan syaratnya harus terpenuhi dulu yaitu $a> 0$ sudah sesuai $2> 0$ dan $a\neq 1$ sudah sesuai $2\neq 1$ maka:
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=a^{b}\rightarrow f(x)=b\\ 2^{x^{2}-3x}&=16\\ 2^{x^{2}-3x}&=2^{4}\rightarrow x^{2}-3x=4 \end {aligned}\\$ $\begin {aligned} x^{2}-3x&=4\\ x^{2}-3x-4&=0\\ (x-4)(x+1)&=0\\ x-4=0\ \cup \ x+1&=0\\ x=4\ \cup \ x&=-1 \end{aligned}$
Jadi nilai $x=4$ atau $x=-1$
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=a^{b}\rightarrow f(x)=b\\ 2^{x^{2}-3x}&=16\\ 2^{x^{2}-3x}&=2^{4}\rightarrow x^{2}-3x=4 \end {aligned}\\$ $\begin {aligned} x^{2}-3x&=4\\ x^{2}-3x-4&=0\\ (x-4)(x+1)&=0\\ x-4=0\ \cup \ x+1&=0\\ x=4\ \cup \ x&=-1 \end{aligned}$
Jadi nilai $x=4$ atau $x=-1$
c. $25^{(x+2)}=5^{3x-4}$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 3) $a^{f(x)}=a^{g(x)}\rightarrow f(x)=g(x),a> 0,a\neq 1$, sebelum menyelesaikan soal perhatikan syaratnya harus terpenuhi dulu yaitu $a> 0$ sudah sesuai $5> 0$ dan $a\neq 1$ sudah sesuai $5\neq 1$ maka:
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=a^{g(x)}\rightarrow f(x)=g(x)\\ 25^{(x+2)}&=5^{3x-4}\\ (5^{2})^{(x+2)}&=5^{3x-4}\\ 5^{2x+4}&=5^{3x-4}\rightarrow 2x+4=3x-4\\ \end{aligned}\\$ $\begin {aligned} 2x+4&=3x-4\\ 2x-3x&=-4-4\\ -x&=-8\\ x&=8 \end{aligned}$
Jadi nilai $x=8$
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=a^{g(x)}\rightarrow f(x)=g(x)\\ 25^{(x+2)}&=5^{3x-4}\\ (5^{2})^{(x+2)}&=5^{3x-4}\\ 5^{2x+4}&=5^{3x-4}\rightarrow 2x+4=3x-4\\ \end{aligned}\\$ $\begin {aligned} 2x+4&=3x-4\\ 2x-3x&=-4-4\\ -x&=-8\\ x&=8 \end{aligned}$
Jadi nilai $x=8$
d. $25^{x-1}-3^{2x-2}=0$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 4) $a^{f(x)}=b^{f(x)}\rightarrow f(x)=0,a,b> 0,a,b\neq 1$, kita ubah ke bentuk eksplisit menjadi $25^{x-1}-3^{2x-2}=0\rightarrow 25^{x-1}=3^{2x-2}$ sebelum menyelesaikan soal perhatikan syaratnya harus terpenuhi dulu yaitu $a,b> 0$ sudah sesuai $25,3> 0$ dan $a\neq 1$ sudah sesuai $25,3\neq 1$ maka:
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=b^{f(x)}\rightarrow f(x)=0\\ 25^{x-1}-3^{2x-2}&=0\\ 25^{x-1}&=3^{2x-2}\\ (5^{2})^{x-1}&=3^{2x-2}\\ 5^{2x-2}&=3^{2x-2}\rightarrow 2x-2=0 \end{aligned}\\$ $\begin {aligned} 2x-2&=0\\ 2x&=2\\ x&=\frac{2}{2}\\ x&=1 \end{aligned}$
Jadi nilai $x=1$
$\begin {aligned} a^{f(x)}&=b^{f(x)}\rightarrow f(x)=0\\ 25^{x-1}-3^{2x-2}&=0\\ 25^{x-1}&=3^{2x-2}\\ (5^{2})^{x-1}&=3^{2x-2}\\ 5^{2x-2}&=3^{2x-2}\rightarrow 2x-2=0 \end{aligned}\\$ $\begin {aligned} 2x-2&=0\\ 2x&=2\\ x&=\frac{2}{2}\\ x&=1 \end{aligned}$
Jadi nilai $x=1$
e. $8^{2x-1}-16^{x}=0$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 5), kita ubah ke bentuk eksplisit menjadi $8^{2x-1}-16^{x}=0\rightarrow 8^{2x-1}=16^{x}$ sebelum menyelesaikan soal perhatikan syaratnya harus terpenuhi dulu yaitu $a,b> 0$ sudah sesuai $8,16> 0$ dan $a\neq 1$ sudah sesuai $8,16\neq 1$ maka:
$\begin {aligned} 8^{2x-1}-16^{x}&=0\\ 8^{2x-1}&=16^{x}\\ (2^{3})^{2x-1}&=(2^{4})^{x}\\ 2^{6x-3}&=2^{4x}\rightarrow 6x-3=4x \end{aligned}\\$ $\begin {aligned} 6x-3&=4x\\ 6x-4x-3&=0\\ 2x&=3\\ x&=\frac{3}{2} \end{aligned}$
Jadi nilai $x=\frac{3}{2}$
$\begin {aligned} 8^{2x-1}-16^{x}&=0\\ 8^{2x-1}&=16^{x}\\ (2^{3})^{2x-1}&=(2^{4})^{x}\\ 2^{6x-3}&=2^{4x}\rightarrow 6x-3=4x \end{aligned}\\$ $\begin {aligned} 6x-3&=4x\\ 6x-4x-3&=0\\ 2x&=3\\ x&=\frac{3}{2} \end{aligned}$
Jadi nilai $x=\frac{3}{2}$
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut
a. $(x+3)^{2x}=1$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 6) penyelesaiannya ada tiga kemungkinan, kita coba satu per satu dari tiap kemungkinan yang terjadi, pertama $f(x)=1$, maka
$\begin {aligned} f(x)=x+3&=1\\ x&=1-3\\ x&=-2&\text {...(1)} \end{aligned}$
kemungkinan kedua $f(x)=-1$ syarat $g(x)$ genap, maka
$\begin {aligned} f(x)=x+3&=-1\\ x&=-1-3\\ x&=-4&\text {...(2)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $g(x)$ genap kita uji untuk $x=-4$ maka $g(x)=2x=2(-4)=-8$ diperoleh hasilnya adalah bilangan genap, syarat terpenuhi maka berlaku $\text {...(2)}$. Kemungkinan ketiga $g(x)=0$ syarat $f(x)\neq 0$, maka
$\begin {aligned} g(x)=2x&=0\\ x&=\frac{0}{2}\\ x&=0&\text {...(3)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $f(x)\neq 0$, kita uji untuk $x=0$ maka $f(x)=x+3=0+3=3$ diperoleh hasilnya adalah $3$ atau $f(x)\neq 0$, syarat terpenuhi maka berlaku $\text {...(3)}$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\text {(1), }\text {(2), }\text {(3)}$
HP: {$x=-2,\ x=-4,\ x=0$}
$\begin {aligned} f(x)=x+3&=1\\ x&=1-3\\ x&=-2&\text {...(1)} \end{aligned}$
kemungkinan kedua $f(x)=-1$ syarat $g(x)$ genap, maka
$\begin {aligned} f(x)=x+3&=-1\\ x&=-1-3\\ x&=-4&\text {...(2)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $g(x)$ genap kita uji untuk $x=-4$ maka $g(x)=2x=2(-4)=-8$ diperoleh hasilnya adalah bilangan genap, syarat terpenuhi maka berlaku $\text {...(2)}$. Kemungkinan ketiga $g(x)=0$ syarat $f(x)\neq 0$, maka
$\begin {aligned} g(x)=2x&=0\\ x&=\frac{0}{2}\\ x&=0&\text {...(3)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $f(x)\neq 0$, kita uji untuk $x=0$ maka $f(x)=x+3=0+3=3$ diperoleh hasilnya adalah $3$ atau $f(x)\neq 0$, syarat terpenuhi maka berlaku $\text {...(3)}$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\text {(1), }\text {(2), }\text {(3)}$
HP: {$x=-2,\ x=-4,\ x=0$}
b. $(2x-1)^{x-3}=(x+7)^{x-3}$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 7) penyelesaiannya ada tiga kemungkinan, kita coba satu per satu dari tiap kemungkinan yang terjadi, pertama $f(x)=g(x)$, maka
$\begin {aligned} f(x)&=g(x)\\ 2x-1&=x+7\\ 2x-x&=7+1\\ x&=8&\text {...(1)} \end{aligned}$
kemungkinan kedua $f(x)=-g(x)$ syarat $h(x)$ genap, maka
$\begin {aligned} f(x)&=-g(x)\\ 2x-1&=-(x+7)\\ 2x-1&=-x-7\\ 2x+x&=-7+1\\ 3x&=-6\\ x&=\frac{-6}{3}\\ x&=-2&\text {...(2)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $f(x)=-g(x)$ syarat $h(x)$ genap, kita uji untuk $x=-2$ maka $h(x)=x-3=-2-3=-5$ diperoleh hasilnya adalah $-5$ atau $h(x)$ ganjil, syarat tidak terpenuhi maka tidak berlaku $\text {...(2)}$. Kemungkinan ketiga $h(x)=0$ syarat $f(x),g(x)\neq 0$, maka
$\begin {aligned} h(x)=x-3&=0\\ x&=0+3\\ x&=3&\text {...(3)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $h(x)=0$ syarat $f(x),g(x)\neq 0$, kita uji untuk $x=3$ maka
$\begin {aligned} f(x)&=2x-1&g(x)&=x+7\\ f(3)&=2(3)-1&g(3)&=3+7\\ &=6-1&&=10\\ &=5& \end{aligned}$
diperoleh hasilnya $f(x)=5$ dan $g(x)=10$ atau $f(x),g(x)\neq 0$, syarat terpenuhi maka berlaku $\text {...(3)}$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\text {(1), }$ dan $\text {(3)}$
HP: {$x=8,\ x=3$}
$\begin {aligned} f(x)&=g(x)\\ 2x-1&=x+7\\ 2x-x&=7+1\\ x&=8&\text {...(1)} \end{aligned}$
kemungkinan kedua $f(x)=-g(x)$ syarat $h(x)$ genap, maka
$\begin {aligned} f(x)&=-g(x)\\ 2x-1&=-(x+7)\\ 2x-1&=-x-7\\ 2x+x&=-7+1\\ 3x&=-6\\ x&=\frac{-6}{3}\\ x&=-2&\text {...(2)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $f(x)=-g(x)$ syarat $h(x)$ genap, kita uji untuk $x=-2$ maka $h(x)=x-3=-2-3=-5$ diperoleh hasilnya adalah $-5$ atau $h(x)$ ganjil, syarat tidak terpenuhi maka tidak berlaku $\text {...(2)}$. Kemungkinan ketiga $h(x)=0$ syarat $f(x),g(x)\neq 0$, maka
$\begin {aligned} h(x)=x-3&=0\\ x&=0+3\\ x&=3&\text {...(3)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $h(x)=0$ syarat $f(x),g(x)\neq 0$, kita uji untuk $x=3$ maka
$\begin {aligned} f(x)&=2x-1&g(x)&=x+7\\ f(3)&=2(3)-1&g(3)&=3+7\\ &=6-1&&=10\\ &=5& \end{aligned}$
diperoleh hasilnya $f(x)=5$ dan $g(x)=10$ atau $f(x),g(x)\neq 0$, syarat terpenuhi maka berlaku $\text {...(3)}$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\text {(1), }$ dan $\text {(3)}$
HP: {$x=8,\ x=3$}
c. $(x-1)^{x-2}=(x-1)^{2x-11}$
Pada soal ini kita gunakan bentuk umum persamaan nomor 7) penyelesaiannya ada empat kemungkinan, kita coba satu per satu dari tiap kemungkinan yang terjadi, pertama $g(x)=h(x)$, maka
$\begin {aligned} g(x)&=h(x)\\ x-2&=2x-11\\ x-2x&=-11+2\\ -x&=-9\\ x&=9&\text {...(1)} \end{aligned}$
Kemungkinan kedua $f(x)=1$, maka
$\begin {aligned} f(x)=x-1&=1\\ x&=1+1\\ x&=2&\text {...(2)} \end{aligned}$
Kemungkinan ketiga $f(x)=-1$ syarat $g(x),h(x)$ genap/ganjil, maka
$\begin {aligned} f(x)=x-1&=-1\\ x&=-1+1\\ x&=0&\text {...(3)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $f(x)=-1$ syarat $g(x),h(x)$ genap/ganjil, kita uji untuk $x=0$ maka
$\begin {aligned} g(x)&=x-2&h(x)&=2x-11\\ g(0)&=0-2&h(0)&=2(0)-11\\ &=-2&&=0-11\\ &&&=-11 \end{aligned}$
diperoleh hasilnya $g(x)=-2$ dan $h(x)=-11$ atau $g(x)$ genap dan $h(x)$ ganjil, syarat tidak terpenuhi karena $g(x)$ dan $h(x)$ tidak sama-sama ganjil atau tidak sama-sama genap, maka tidak berlaku $\text {...(3)}$. Kemungkinan keempat $f(x)=0$ syarat $g(x),h(x)$ positif, maka
$\begin {aligned} f(x)=x-1&=0\\ x&=0+1\\ x&=1&\text {...(4)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $g(x),h(x)$ positif, kita uji untuk $x=1$ maka
$\begin {aligned} g(x)&=x-2&h(x)&=2x-11\\ g(1)&=1-2&h(1)&=2(1)-11\\ &=-1&&=2-11\\ &&&=-9 \end{aligned}$
diperoleh hasilnya $g(x)=-1$ dan $h(x)=-9$ atau $g(x)$ dan $h(x)$ ganjil, syarat tidak terpenuhi karena $g(x)$ dan $h(x)$ harus positif, maka tidak berlaku $\text {...(4)}$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\text {(1), }$ dan $\text {(2)}$
HP: {$x=9,\ x=2$}
$\begin {aligned} g(x)&=h(x)\\ x-2&=2x-11\\ x-2x&=-11+2\\ -x&=-9\\ x&=9&\text {...(1)} \end{aligned}$
Kemungkinan kedua $f(x)=1$, maka
$\begin {aligned} f(x)=x-1&=1\\ x&=1+1\\ x&=2&\text {...(2)} \end{aligned}$
Kemungkinan ketiga $f(x)=-1$ syarat $g(x),h(x)$ genap/ganjil, maka
$\begin {aligned} f(x)=x-1&=-1\\ x&=-1+1\\ x&=0&\text {...(3)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $f(x)=-1$ syarat $g(x),h(x)$ genap/ganjil, kita uji untuk $x=0$ maka
$\begin {aligned} g(x)&=x-2&h(x)&=2x-11\\ g(0)&=0-2&h(0)&=2(0)-11\\ &=-2&&=0-11\\ &&&=-11 \end{aligned}$
diperoleh hasilnya $g(x)=-2$ dan $h(x)=-11$ atau $g(x)$ genap dan $h(x)$ ganjil, syarat tidak terpenuhi karena $g(x)$ dan $h(x)$ tidak sama-sama ganjil atau tidak sama-sama genap, maka tidak berlaku $\text {...(3)}$. Kemungkinan keempat $f(x)=0$ syarat $g(x),h(x)$ positif, maka
$\begin {aligned} f(x)=x-1&=0\\ x&=0+1\\ x&=1&\text {...(4)} \end{aligned}$
Perhatikan sekali lagi syarat yang ditentukan yaitu $g(x),h(x)$ positif, kita uji untuk $x=1$ maka
$\begin {aligned} g(x)&=x-2&h(x)&=2x-11\\ g(1)&=1-2&h(1)&=2(1)-11\\ &=-1&&=2-11\\ &&&=-9 \end{aligned}$
diperoleh hasilnya $g(x)=-1$ dan $h(x)=-9$ atau $g(x)$ dan $h(x)$ ganjil, syarat tidak terpenuhi karena $g(x)$ dan $h(x)$ harus positif, maka tidak berlaku $\text {...(4)}$. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
$\text {(1), }$ dan $\text {(2)}$
HP: {$x=9,\ x=2$}
3. Tentukan nilai $x$ yang mungkin pada persamaan di bawah ini
a. $2^{2x}-10\cdot 2^{x}+16=0$
b. $9^{x+1}+8\cdot 3^{x}-1=0$
c. $2^{x}+4\cdot 2^{-x}=5$
d. $7(\sqrt{2})^{x}-2^{x}=-8$
a. $2^{2x}-10\cdot 2^{x}+16=0$
untuk menjawab soal ini kita misalkan terlebih dahulu untuk $2^{x}=p> 0$ maka kita ubah bentuk soal semula dengan pemisalan menjadi
$\begin {aligned} 2^{2x}-10\cdot 2^{x}+16=0\\ \left ( 2^{x} \right )^{2}-10\cdot 2^{x}+16=0\\ p^{2}-10p+16=0 \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $p^{2}-10p+16=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} p^{2}-10p+16&=0\\ (p-8)(p-2)&=0\\ p-8=0\ \cup\ p-2&=0\\ p_{1}=8\ \cup\ p_{2}&=2 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=8$ atau $p_{2}=2$, karena di awal kita memsilakan dengan $2^{x}=p> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=8&\text {atau} &&p_{2}&=2\\ 2^{x}&=8&\text {atau} &&2^{x}&=2\\ 2^{x}&=2^{3}&\text {atau} &&2^{x}&=2^{1}\\ x&=3&\text {atau} &&x&=1 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=3$ atau $x=1$
$\begin {aligned} 2^{2x}-10\cdot 2^{x}+16=0\\ \left ( 2^{x} \right )^{2}-10\cdot 2^{x}+16=0\\ p^{2}-10p+16=0 \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $p^{2}-10p+16=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} p^{2}-10p+16&=0\\ (p-8)(p-2)&=0\\ p-8=0\ \cup\ p-2&=0\\ p_{1}=8\ \cup\ p_{2}&=2 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=8$ atau $p_{2}=2$, karena di awal kita memsilakan dengan $2^{x}=p> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=8&\text {atau} &&p_{2}&=2\\ 2^{x}&=8&\text {atau} &&2^{x}&=2\\ 2^{x}&=2^{3}&\text {atau} &&2^{x}&=2^{1}\\ x&=3&\text {atau} &&x&=1 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=3$ atau $x=1$
b. $9^{x+1}+8\cdot 3^{x}-1=0$
untuk menjawab soal ini kita misalkan terlebih dahulu untuk $3^{x}=p> 0$ maka kita ubah bentuk soal semula dengan pemisalan menjadi
$\begin {aligned} 9^{x+1}+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9^{x}\cdot 9+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9\cdot (3^{2})^{x}+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9\cdot (3^{x})^{2}+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9p^{2}+8p-1&=0\\ \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $9p^{2}+8p-1=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} 9p^{2}+8p-1&=0\\ (9p-1)(p+1)&=0\\ 9p-1=0\ \cup\ p+1&=0\\ 9p=1\ \cup\ p&=-1\\ p_{1}=\frac{1}{9}\ \cup \ p_{2}&=-1 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=\frac {1}{9}$ atau $p_{2}=-1$, karena di awal kita memsilakan dengan $3^{x}=p> 0$ maka untuk $p_{2}=-1$ tidak terpenuhi syarat, selanjutnya kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=\frac{1}{9}\\ 3^{x}&=\frac{1}{9}\\ 3^{x}&=\frac{1}{3^{2}}\\ 3^{x}&=3^{-2}\\ x&=-2 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=-2$
$\begin {aligned} 9^{x+1}+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9^{x}\cdot 9+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9\cdot (3^{2})^{x}+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9\cdot (3^{x})^{2}+8\cdot 3^{x}-1&=0\\ 9p^{2}+8p-1&=0\\ \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $9p^{2}+8p-1=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} 9p^{2}+8p-1&=0\\ (9p-1)(p+1)&=0\\ 9p-1=0\ \cup\ p+1&=0\\ 9p=1\ \cup\ p&=-1\\ p_{1}=\frac{1}{9}\ \cup \ p_{2}&=-1 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=\frac {1}{9}$ atau $p_{2}=-1$, karena di awal kita memsilakan dengan $3^{x}=p> 0$ maka untuk $p_{2}=-1$ tidak terpenuhi syarat, selanjutnya kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=\frac{1}{9}\\ 3^{x}&=\frac{1}{9}\\ 3^{x}&=\frac{1}{3^{2}}\\ 3^{x}&=3^{-2}\\ x&=-2 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=-2$
c. $2^{x}+4\cdot 2^{-x}=5$
untuk menjawab soal ini kita misalkan terlebih dahulu untuk $2^{x}=p> 0$ maka kita ubah bentuk soal semula dengan pemisalan menjadi
$\begin {aligned} 2^{x}+4\cdot 2^{-x}&=5\\ 2^{x}+4\cdot \frac{1}{2^{x}}&=5\\ p+4\cdot \frac{1}{p}&=5&\times p\\ p\cdot p+4\cdot \frac{1}{p}\cdot p&=5\cdot p\\ p^{2}+4&=5p\\ p^{2}-5p+4&=0 \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $p^{2}-5p+4=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} p^{2}-5p+4&=0\\ (p-4)(p-1)&=0\\ p-4=0\ \cup\ p-1&=0\\ p_{1}=4\ \cup\ p_{2}&=1 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=4$ atau $p_{2}=1$, karena di awal kita memsilakan dengan $2^{x}=p> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=4&\text {atau} &&p_{2}&=1\\ 2^{x}&=4&\text {atau} &&2^{x}&=1\\ 2^{x}&=2^{2}&\text {atau} &&2^{x}&=2^{0}\\ x&=2&\text {atau} &&x&=0 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=2$ atau $x=0$
$\begin {aligned} 2^{x}+4\cdot 2^{-x}&=5\\ 2^{x}+4\cdot \frac{1}{2^{x}}&=5\\ p+4\cdot \frac{1}{p}&=5&\times p\\ p\cdot p+4\cdot \frac{1}{p}\cdot p&=5\cdot p\\ p^{2}+4&=5p\\ p^{2}-5p+4&=0 \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $p^{2}-5p+4=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} p^{2}-5p+4&=0\\ (p-4)(p-1)&=0\\ p-4=0\ \cup\ p-1&=0\\ p_{1}=4\ \cup\ p_{2}&=1 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=4$ atau $p_{2}=1$, karena di awal kita memsilakan dengan $2^{x}=p> 0$ maka kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=4&\text {atau} &&p_{2}&=1\\ 2^{x}&=4&\text {atau} &&2^{x}&=1\\ 2^{x}&=2^{2}&\text {atau} &&2^{x}&=2^{0}\\ x&=2&\text {atau} &&x&=0 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=2$ atau $x=0$
d. $7(\sqrt{2})^{x}-2^{x}=-8$
untuk menjawab soal ini kita misalkan terlebih dahulu untuk $(\sqrt{2})^{x}=p> 0$ maka kita ubah bentuk soal semula dengan pemisalan menjadi
$\begin {aligned} 7(\sqrt{2})^{x}-2^{x}&=-8\\ 7(\sqrt{2})^{x}-(\sqrt{2^{2}})^{x}&=-8\\ 7(\sqrt{2})^{x}-(\sqrt{2^{x}})^{2}&=-8\\ 7p-p^{2}&=-8\\ p^{2}-7p-8&=0 \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $p^{2}-7p-8=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} p^{2}-7p-8&=0\\ (p-8)(p+1)&=0\\ p-8=0\ \cup \ p+1&=0\\ p_{1}=8\ \cup \ p_{2}&=-1 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=8$ atau $p_{2}=-1$, karena di awal kita memsilakan dengan $(\sqrt{2})^{x}=p> 0$ maka untuk $p_{2}=-1$ tidak terpenuhi syarat, selanjutnya kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=8\\ (\sqrt{2})^{x}&=8\\ 2^{\frac{1}{2}x}&=2^{3}\\ \frac{1}{2}x&=3\\ x&=3\cdot 2\\ x&=6 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=6$
$\begin {aligned} 7(\sqrt{2})^{x}-2^{x}&=-8\\ 7(\sqrt{2})^{x}-(\sqrt{2^{2}})^{x}&=-8\\ 7(\sqrt{2})^{x}-(\sqrt{2^{x}})^{2}&=-8\\ 7p-p^{2}&=-8\\ p^{2}-7p-8&=0 \end{aligned}$
sekarang kita memperoleh bentuk persamaan baru yaitu persamaan kuadrat $p^{2}-7p-8=0$, langkah selanjutnya kita tinggal memfaktorkan persamaan kuadratnya menjadi
$\begin {aligned} p^{2}-7p-8&=0\\ (p-8)(p+1)&=0\\ p-8=0\ \cup \ p+1&=0\\ p_{1}=8\ \cup \ p_{2}&=-1 \end{aligned}$
kita peroleh nilai pemisalan dari $p$ yaitu $p_{1}=8$ atau $p_{2}=-1$, karena di awal kita memsilakan dengan $(\sqrt{2})^{x}=p> 0$ maka untuk $p_{2}=-1$ tidak terpenuhi syarat, selanjutnya kita kembalikan ke bentuk semula menjadi
$\begin {aligned} p_{1}&=8\\ (\sqrt{2})^{x}&=8\\ 2^{\frac{1}{2}x}&=2^{3}\\ \frac{1}{2}x&=3\\ x&=3\cdot 2\\ x&=6 \end{aligned}$
Jadi nilai $x$ yang mungkin adalah $x=6$
4. Penutupan
Itulah beberapa materi dan soal berikut pembahasannya dari persamaan eksponen. Teruslah berlatih mencoba menemukan materi dan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal persamaan eksponen dari sumber-sumber yang lain. Satu catatan pada pertemuan kali ini pahami dari setiap bentuk-bentuk persamaan eksponen sebelum menyelesaikan soal.
Petunjuk singkat dalam berlatih persamaan eksponen, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan soal persamaan eksponen.
untuk lebih memahami materi tentang persamaan eksponen silahkan download pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal persamaan eksponen, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Panduan Belajar Memahami Materi Persamaan Eksponen Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami terlebih dahulu definisi persamaan eksponen
- Pahami dan hafalkan bentuk-bentuk dari persamaan eksponen
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal persamaan eksponen
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal persamaan eksponen yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami persamaan eksponen silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep persamaan eksponen.
