Matematika Peminatan Kelas 12 | Limit Fungsi Ketakhinggaan - 3Tanpa matematika, tidak ada yang dapat Anda lakukan. Segala sesuatu disekitar Anda adalah matematika. Segala sesuatu di sekitar Anda adalah nomor.
1. Pendahuluan
Pada pembahasan limit fungsi ketakhinggaan kali ini, kita akan menempatkan pendekatan nilai limit tak hingga pada fungsi trigonometri, permasalahan utama pada limit yaitu apabila kita menemukan nilai dari substitusi limit memperoleh bentuk tak tentu, karena kita harus mencari atau merubah bentuk yang setara dari suatu fungsi untuk dapat saling menyederhanakan sehingga kita peroleh nilai dari limitnya bukan bentuk tak tentu lagi. Kali ini kita tidak asing lagi ketika mnyebutkan bentuk tak tentu dari limit, karena kita telah mempelajari pada bagian yang sebelumnya. Sehingga pada pembahasan materi kali ini kita langsung fokus ke pembahasan limit fungsi ketakhinggaan trigonometri.
Bentuk tak hingga $(\infty)$ jika diposisikan sebagai sudut suatu fungsi trigonometri maka tidak bisa kita tentukan nilainya, misalkan sudut dari $\sin \infty$, $\cos \infty$, $\tan \infty$ maka kita tidak bisa menentukan nilai dari trigonometrinya, tentu ini karena bentuk tak hingga sendiri yang di definisikan sebagai konsep suatu kecenderungan yang terus menerus membesar baik ke arah positif maupun negatif, sehingga nilai dari tak hingga itu sendiri menjadi tidak jelas, dan tentunya nilai dari fungsi trigonometri sendiri berkisar antara -1 dan 1 atau $-1< \sin x\ \text {dan}\ \cos x< 1$ untuk sin dan cos, sedangkan untuk tan nilainya berkisar antara negatif tak hingga dan tak hingga atau $-\infty< \tan x< \infty$ dengan nilai $x$ yang sudah pasti, bukan tak hingga $x\neq \infty$.
Untuk memudahkan mencari nilai dari limit fungsi ketakhinggaan trigonometri maka bentuk yang digunakan adalah $\displaystyle \frac {1}{\infty}$, karena nilai dari $\displaystyle \frac {1}{\infty}=0$. Bila kita terapkan pada limit fungsi ketakhinggaan trigonometri maka bisa kita tentukan nilainya $\displaystyle \sin \frac {1}{\infty}=0$, $\displaystyle \cos \frac {1}{\infty}=1$, dan $\displaystyle \tan \frac {1}{\infty}=0$ dengan begitu kita menjadi mudah dalam mencari nilai limitnya. Untuk menentukan limit fungsi tersebut, kita menggunakan perpaduan antara konsep tak hingga dan limit fungsi trigonometri yang telah dipelajari pada bagian sebelumnya. Bagaimana menentukan $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}?$
Sudah kita ketahui bahwa nilai $\sin x$ berada diantara -1 dan 1 yaitu $-1< \sin x< 1$. Kita kalikan setiap ruas dengan $\frac {1}{x}$ maka kita peroleh
$\begin {aligned}
&-1< \sin x< 1&\times \frac {1}{x}\\
&\displaystyle -\frac{1}{x}< \frac{\sin x}{x}< \frac{1}{x}
\end {aligned}$Kita dapat memperoleh teorema yang sangat penting mengenai limit fungsi yang dikenal dengan nama teorema apit.
Teorema Apit
Misalkan $f,g$ dan $h$ adalah fungsi yang memenuhi $f(x)< g(x)< h(x)$ untuk semua $x$ yang memuat $c$. Berlaku
Jika $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)< \lim_{x\to c}g(x)< \lim_{x\to c}h(x)=L$, maka
$\displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=L$
Maka bila kita terapkan teorema apit pada bentuk di atas menjadiMisalkan $f,g$ dan $h$ adalah fungsi yang memenuhi $f(x)< g(x)< h(x)$ untuk semua $x$ yang memuat $c$. Berlaku
Jika $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)< \lim_{x\to c}g(x)< \lim_{x\to c}h(x)=L$, maka
$\displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=L$
$\begin {aligned} -\frac{1}{x}< &\frac{\sin x}{x}< \frac{1}{x}\\ \\ \displaystyle \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}< &\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}< \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\\ \\ \displaystyle 0<& \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}< 0 \end {aligned}\\$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$
2. Menentukan Limit Fungsi Ketakhinggaan Trigonometri dengan Cara Substitusi
Mencari nilai limit fungsi ketakhinggaan dari fungsi trigonometri dengan memisalkan terlebih dahulu bentuknya sehingga limit tersebut tidak lagi menuju tak hingga. Bila kila langsung menyubstitusikan bentuk tak hingga pada fungsi limit maka kita tidak dapat menentukan nilainya. Kita dapat menentukan nilai limitnya bila dirubah bentuk limitnya menjadi menuju atau mendekati 0 pada fungsi trigonometri. Selanjutnya kita dapat menggunakan teorema-teorema limit fungsi trigonometri yang sudah dipelajari pada BAB 1, sekadar mengulang saja kita tuliskan ulang teorema - teorema limit fungsi trigonometri.
A. Teorema Dasar Limit Fungsi Trigonometri
1. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x }{x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax}{ax}=1$
2.$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{\sin x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax}{\sin ax}=1$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan x }{x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\tan ax}{ax}=1$
4.$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{\tan x} = 1\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax}{\tan ax}=1$
B. Teorema Lebih Umum dari Limit Fungsi Trigonometri
1. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}$
2. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\tan ax }{\tan bx}=\frac{a}{b}$
4. $\displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\sin ax }{\tan bx}=\frac{a}{b}\ \ \text {atau}\ \ \displaystyle \lim_{x \to 0 }\frac{\tan ax }{\sin bx}=\frac{a}{b}$
Sebagai catatan untuk menentukan limit fungsi ketakhinggaan trigonometri bentuk cosinus atau $\cos$, maka sama halnya dengan limit fungsi trigonometri sebelumnya kita ubah terlebih dahulu dengan bentuk yang setara dari cosinus yang pada umumnya memuat bentuk sinus atau tangen atau $\sin$, $\tan$ agar bisa menggunakan teorema - teorema limit fungsi trigonometri di atas.
Agar lebih mempermudah kita dalam memahami konsep limit fungsi ketakhinggaan trigonometri, mari kita pelajari dan simak contoh soal di bawah ini
3. Contoh Soal dan Pembahasan
1. Tentukan nilai dari limit fungsi di bawah inia. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \sin \left ( \frac{3}{x} \right )+\cos \left ( \frac{2}{x} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{x}$ maka $\displaystyle x=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \sin \left ( \frac{3}{x} \right )+\cos \left ( \frac{2}{x} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \sin \left ( \frac{3}{x} \right )+\cos \left ( \frac{2}{x} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \sin 3\left ( \frac{1}{x} \right )+\cos 2\left ( \frac{1}{x} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}(\sin 3a+\cos 2a) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal substitusikan nilai limit yang diminta, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}(\sin 3a+\cos 2a)\\ &=\sin 3(0)+\cos 2(0)\\ &=\sin 0+\cos 0\\ &=0+1\\ &=1 \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \sin \left ( \frac{3}{x} \right )+\cos \left ( \frac{2}{x} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \sin \left ( \frac{3}{x} \right )+\cos \left ( \frac{2}{x} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \sin 3\left ( \frac{1}{x} \right )+\cos 2\left ( \frac{1}{x} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}(\sin 3a+\cos 2a) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal substitusikan nilai limit yang diminta, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}(\sin 3a+\cos 2a)\\ &=\sin 3(0)+\cos 2(0)\\ &=\sin 0+\cos 0\\ &=0+1\\ &=1 \end {aligned}$
b. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\tan \left ( \frac{2}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{3}{5x} \right )}$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{x}$ maka $\displaystyle x=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\tan \left ( \frac{2}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{3}{5x} \right )}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\frac{\tan \left ( \frac{2}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{3}{5x} \right )}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\frac{\tan \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x} \right )}{\sin \frac{3}{5}\left ( \frac{1}{x} \right )}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan \frac{2}{3}a}{\sin \frac{3}{5}a} \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan \frac{2}{3}a}{\sin \frac{3}{5}a}&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\ \\ &=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}}\\ \\ &=\frac{2}{3}\times \frac{5}{3}\\ \\ &=\frac{10}{9} \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\tan \left ( \frac{2}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{3}{5x} \right )}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\frac{\tan \left ( \frac{2}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{3}{5x} \right )}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\frac{\tan \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x} \right )}{\sin \frac{3}{5}\left ( \frac{1}{x} \right )}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan \frac{2}{3}a}{\sin \frac{3}{5}a} \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan \frac{2}{3}a}{\sin \frac{3}{5}a}&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\ \\ &=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{5}}\\ \\ &=\frac{2}{3}\times \frac{5}{3}\\ \\ &=\frac{10}{9} \end {aligned}$
c. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( x\sin \left ( \frac{1}{x} \right )\right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{x}$ maka $\displaystyle x=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( x\sin \left ( \frac{1}{x} \right )\right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( x\sin \left ( \frac{1}{x} \right )\right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{a}\sin a\right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri nomor 1), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\ &=1 \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( x\sin \left ( \frac{1}{x} \right )\right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( x\sin \left ( \frac{1}{x} \right )\right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{a}\sin a\right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri nomor 1), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\ &=1 \end {aligned}$
d. $\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( \frac{1}{y}\cot \left ( \frac{1}{y} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{y}$ maka $\displaystyle y=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( \frac{1}{y}\cot \left ( \frac{1}{y} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{1}{y}\cot \left ( \frac{1}{y} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( a\cot a \right )\ \ \ \Leftrightarrow \cot a=\frac{1}{\tan a}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( a\cdot \frac{1}{\tan a} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{a}{\tan a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{a}{\tan a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{x}{\tan x}=1\\ &=1 \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( \frac{1}{y}\cot \left ( \frac{1}{y} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{1}{y}\cot \left ( \frac{1}{y} \right ) \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( a\cot a \right )\ \ \ \Leftrightarrow \cot a=\frac{1}{\tan a}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( a\cdot \frac{1}{\tan a} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{a}{\tan a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{a}{\tan a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{x}{\tan x}=1\\ &=1 \end {aligned}$
e. $\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( \frac{y}{\csc \left ( \frac{1}{y} \right )} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{y}$ maka $\displaystyle y=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( \frac{y}{\csc \left ( \frac{1}{y} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{y}{\csc \left ( \frac{1}{y} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\frac{1}{a}}{\csc a} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{a\csc a} \right )\ \ \ \Leftrightarrow \sin a=\frac{1}{\csc a}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri nomor 1), menjadi
$\begin {aligned} &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\ &=1 \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( \frac{y}{\csc \left ( \frac{1}{y} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{y}{\csc \left ( \frac{1}{y} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\frac{1}{a}}{\csc a} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{1}{a\csc a} \right )\ \ \ \Leftrightarrow \sin a=\frac{1}{\csc a}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema dasar limit fungsi trigonometri nomor 1), menjadi
$\begin {aligned} &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin a}{a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\\ &=1 \end {aligned}$
2. Hitunglah nilai limit dari
a. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\tan \left ( \frac{5}{x} \right )\csc \left ( \frac{2}{x} \right )$
b. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\sin \left ( \frac{7}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{4}{3x} \right )} \right )$
c. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\cot \left ( \frac{1}{2x} \right )}{\csc \left ( \frac{3}{x} \right )} \right )$
d. $\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 4+\tan \left ( \frac{2}{y} \right ) \right )$
e. $\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 3\cdot \frac{\sin \left ( \frac{2}{3y} \right )}{2y} \right )$
a. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\tan \left ( \frac{5}{x} \right )\csc \left ( \frac{2}{x} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{x}$ maka $\displaystyle x=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\tan \left ( \frac{5}{x} \right )\csc \left ( \frac{2}{x} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\tan \left ( \frac{5}{x} \right )\csc \left ( \frac{2}{x} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\tan 5\left ( \frac{1}{x} \right )\csc 2\left ( \frac{1}{x} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\tan 5a\cdot \csc 2a\ \ \Leftrightarrow \csc 2a=\frac{1}{\sin 2a}\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\tan 5a\cdot\frac{1}{\sin 2a}\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan 5a}{\sin 2a} \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan 5a}{\sin 2a}&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\ &=\frac{5}{2} \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\tan \left ( \frac{5}{x} \right )\csc \left ( \frac{2}{x} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\tan \left ( \frac{5}{x} \right )\csc \left ( \frac{2}{x} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\tan 5\left ( \frac{1}{x} \right )\csc 2\left ( \frac{1}{x} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\tan 5a\cdot \csc 2a\ \ \Leftrightarrow \csc 2a=\frac{1}{\sin 2a}\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\tan 5a\cdot\frac{1}{\sin 2a}\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan 5a}{\sin 2a} \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\frac{\tan 5a}{\sin 2a}&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\ &=\frac{5}{2} \end {aligned}$
b. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\sin \left ( \frac{7}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{4}{3x} \right )} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{x}$ maka $\displaystyle x=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\sin \left ( \frac{7}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{4}{3x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{\sin \frac{7}{3}\left ( \frac{1}{x} \right )}{\sin \frac{4}{3}\left ( \frac{1}{x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin \frac{7}{3}a}{\sin \frac{4}{3}a} \right )\\ \\ \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 3), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin \frac{7}{3}a}{\sin \frac{4}{3}a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\ &=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}}\\ &=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 4}\\ &=\frac{7}{4} \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\sin \left ( \frac{7}{3x} \right )}{\sin \left ( \frac{4}{3x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{\sin \frac{7}{3}\left ( \frac{1}{x} \right )}{\sin \frac{4}{3}\left ( \frac{1}{x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin \frac{7}{3}a}{\sin \frac{4}{3}a} \right )\\ \\ \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 3), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin \frac{7}{3}a}{\sin \frac{4}{3}a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\ &=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}}\\ &=\frac{7\cdot 3}{3\cdot 4}\\ &=\frac{7}{4} \end {aligned}$
c. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\cot \left ( \frac{1}{2x} \right )}{\csc \left ( \frac{3}{x} \right )} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{x}$ maka $\displaystyle x=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\cot \left ( \frac{1}{2x} \right )}{\csc \left ( \frac{3}{x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{\cot \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x} \right )}{\csc 3\left ( \frac{1}{x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\cot \frac{1}{2}a}{\csc 3a} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}x}}{\frac{1}{\sin 3a}} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 3a}{\tan \frac{1}{2}a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 3a}{\tan \frac{1}{2}a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}\\ &=\frac{3}{\frac{1}{2}}\\ &=3\cdot 2\\ &=6 \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $x$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{x}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left ( \frac{\cot \left ( \frac{1}{2x} \right )}{\csc \left ( \frac{3}{x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}\to\frac{1}{\infty}}\left ( \frac{\cot \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x} \right )}{\csc 3\left ( \frac{1}{x} \right )} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\cot \frac{1}{2}a}{\csc 3a} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}x}}{\frac{1}{\sin 3a}} \right )\\ \\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 3a}{\tan \frac{1}{2}a} \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal menggunakan teorema umum limit fungsi trigonometri nomor 4), menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{\sin 3a}{\tan \frac{1}{2}a} \right )&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}\\ &=\frac{3}{\frac{1}{2}}\\ &=3\cdot 2\\ &=6 \end {aligned}$
d. $\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 4+\tan \left ( \frac{2}{y} \right ) \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{y}$ maka $\displaystyle y=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 4+\tan \left ( \frac{2}{y} \right ) \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 4+\tan 2\left ( \frac{1}{y} \right ) \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 4+\tan 2a \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal substitusikan nilai limit yang diminta, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 4+\tan 2a \right )\\ &=4+\tan 2(0)\\ &=4+\tan 0\\ &=4+0\\ &=4 \end {aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 4+\tan \left ( \frac{2}{y} \right ) \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 4+\tan 2\left ( \frac{1}{y} \right ) \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 4+\tan 2a \right ) \end {aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal substitusikan nilai limit yang diminta, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 4+\tan 2a \right )\\ &=4+\tan 2(0)\\ &=4+\tan 0\\ &=4+0\\ &=4 \end {aligned}$
e. $\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 3\cdot \frac{\sin \left ( \frac{2}{3y} \right )}{2y} \right )$
Kita misalkan $\displaystyle a=\frac {1}{y}$ maka $\displaystyle y=\frac {1}{a}$.
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 3\cdot \frac{\sin \left ( \frac{2}{3y} \right )}{2y} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 3\cdot \frac{\sin \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{y} \right )}{2y} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 3\cdot \frac{\sin \frac{2}{3}a}{2\cdot \frac{1}{a}} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 3\cdot \frac{\sin \frac{2}{3}a}{\frac{2}{a}} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{ 3a\sin \frac{2}{3}a}{2} \right ) \end{aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal substitusikan nilai limit yang diminta karena bila kita substitusikan bukan menghasilkan bentuk tak tentu limit, sehingga
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{ 3a\sin \frac{2}{3}a}{2} \right )\\ &=\frac{3(0)\sin \frac{2}{3}(0)}{2}\\ &=\frac{0\sin (0)}{2}\\ &=\frac{0}{2}\\ &=0 \end{aligned}$
Sekarang kita substitusi, karena limit $y$ mendekati $\infty$ maka $\displaystyle a=\frac {1}{y}=\frac {1}{\infty}=0$. Selanjutnya kita substitusikan hasil dari pemisalan di atas pada soal limit, menjadi
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{y\to\infty}\left ( 3\cdot \frac{\sin \left ( \frac{2}{3y} \right )}{2y} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{\frac{1}{y}\to\frac{1}{\infty}}\left ( 3\cdot \frac{\sin \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{y} \right )}{2y} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 3\cdot \frac{\sin \frac{2}{3}a}{2\cdot \frac{1}{a}} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( 3\cdot \frac{\sin \frac{2}{3}a}{\frac{2}{a}} \right )\\ &=\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{ 3a\sin \frac{2}{3}a}{2} \right ) \end{aligned}$
Bila sudah dalam bentuk pemisalan maka kita akan menemukan bentuk limitnya sekarang bukan lagi menuju atau mendekati $\infty$ namun sudah dalam limit menuju atau mendekati 0. Langkah selanjutnya kita tinggal substitusikan nilai limit yang diminta karena bila kita substitusikan bukan menghasilkan bentuk tak tentu limit, sehingga
$\begin {aligned} &\displaystyle \lim_{a\to0}\left ( \frac{ 3a\sin \frac{2}{3}a}{2} \right )\\ &=\frac{3(0)\sin \frac{2}{3}(0)}{2}\\ &=\frac{0\sin (0)}{2}\\ &=\frac{0}{2}\\ &=0 \end{aligned}$
4. Penutupan
Itulah beberapa materi dan soal berikut pembahasannya dari limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri. Teruslah berlatih mencoba menemukan materi dan soal-soal yang baru lagi, agar mempertajam kita dalam melatih mengerjakan soal limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri dari sumber-sumber yang lain. Satu catatan pada pertemuan kali ini pahami dari setiap perubahan-perubahan pemisalan bentuk tak hingga dan nilai fungsi yang setara dari trigonometri.
Petunjuk singkat dalam berlatih limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri, sebelum melihat pembahasan dengan cara mengklik tombol 'Penyelesaian' cobalah terlebih dahulu mengerjakan dengan cara dan langkah sendiri dulu, kemudian mencocokannya dengan pembahasan di atas, mudah-mudahan dengan cara seperti itu dapat menambah wawasan dan mempertajam kita dalam berlatih mengerjakan soal limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri.
Untuk melatih pemahaman dan mencoba latihan soal limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri, silahkan download juga pada link dibawah ini dalam bentuk pdf.
Panduan Belajar Memahami Materi Limit Fungsi Ketakhinggaan-3 Secara Mandiri
- Berdoa sebelum memulai belajar
- Niatkan belajar dengan sungguh-sungguh
- Pahami dan hafalkan teorema-teorema limit fungsi trigonometri
- Pahami dan hafalkan pemisalan dan nilai fungsi yang setara dari trigonometri
- Perhatikan contoh-contoh soal yang telah diberikan
- Cobalah mengulang mengerjakan contoh soal tanpa melihat pembahasannya
- Kerjakan latihan-latihan soal limit fungsi ketakhinggaan-3
- Cobalah dari soal-soal yang dianggap paling mudah dulu
- Teruslah berlatih mengerjakan tipe soal limit fungsi ketakhinggaan-3 yang lain dari sumber internet
- Akhiri setiap belajar dengan berdoa
Notes: Jika mengalami kendala untuk memahami limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri silahkan bertanya pada teman yang sudah lebih memahami atau bertanya langsung pada admin.
Terima kasih sudah berkunjung dan semoga bermanfaat untuk membantu sedikit memahami dari konsep limit fungsi ketakhinggaan-3 atau bentuk trigonometri.
